哈密顿系统若干问题研究与KAM理论应用

本项目主要利用KAM理论和方法研究哈密顿系统及其有关问题；这些问题与力学，物理，天文等学科有密切联系，有重要的应用背景和理论价值。首先利用KAM技巧研究具有退化平衡点的拟周期系统在小扰动下的约化性质以及拟周期解的存在性问题。然后研究法向退化的近可积哈密顿系统低维不变环面的保持性问题。这种问题对于高维情形有较大的困难，须发展新的KAM技巧来解决。同时还研究近可积哈密顿系统低维固定的非扭转频率的不变环面的保持性问题， 并且把相应的方法应用于可逆系统。利用KAM方法和小扭转定理对二阶系统拟周期解的存在性和拉格朗日意义下的稳定性问题进一步深入研究，取得一些深入的结果。对于一些KAM定理有关问题的光滑性要求进行深入研究，寻找最佳光滑性条件。此外我们利用变分方法研究哈密顿系统，特别是具有哈密顿变分结构的一些偏微分方程的同宿轨问题， 取得一些重要成果。

本课题的主要目的是利用KAM理论研究有关拟周期问题，特别是哈密顿系统的有关问题。同时还要利用变分理论研究薛定谔方程等有关问题的解的存在性有关问题。这些问题有重要的物理等应用背景，数学上又有重要的理论价值。 全体课题组成员经过三年的共同努力，本项目已经顺利完成，主要研究内容已取得了预期的成果。大多数研究成果都已经以论文形式发表了， 还有部分成果还在投稿中或正在整理成文。在此期间已经发表了29篇学术论文， 其中大多数为（24篇）为SCI论文，发表在一些重要学术刊物上， 如 Ergod. Th. Dyn. Sys.， Calc. Var. Partial Differential Equations，Nonlinearity， Discrete Contin. Dyn. Syst，J. Differential Equations，Proc. Roy. Soc. Edinburgh， Math. Nachr.，等杂志。此外，在这期间， 我们还培养了6位博士和二个硕士生， 其中有一篇博士论文获得省优秀博士论文，并且被学校推选参加国家优秀博士论文评选。在这期间，我们积极组织课题组成员以及博士生参加国际学术会议以及国内学术会议，邀请国内外专家来校进行学术交流多次，取得了许多收获，使得本课题项目能够顺利完成。