哈密顿系统与KAM理论若干问题研究

This project aims for taking relevant research of (finite dimensional or infinite dimensional) Hamiltonian systems, which are of significant application backgrounds and theoritical value. Firstly, we use KAM theory to analyze some nearly integrable hamiltonian systems with degeneracy in normal direction to obtain the persistence of lower dimensional invariant tori. We then consider quasi-periodic systems with some degeneracy in two variables. Such problems are difficult to deal with in traditional way that we develop new KAM techniques and ideas. Moreover we will generalize those exciting results to reversible systems. Also, by infinite dimensional KAM theory, a class of shallow water equations are studied and correspondingly the existence of quasi-periodic solutions under different boundary conditions is proved. In addition, by means of variational method and critical theory, we make great achievements with respect to the homoclinic orbits problem of some partial differential equations and the existence and stability of ground state solutions.

本项目主要利用KAM理论和泛函分析理论研究有限维和无穷维哈密顿系统及其有关问题；这些问题有重要的应用背景和理论价值。首先利用KAM理论方法研究具有法向退化的近可积哈密顿系统低维不变环面在小扰动下的保持性问题以及两个变量都退化的拟周期系统的约化问题。这些问题有很大的困难，因此我们要发展新的KAM理论技巧和方法来解决这些问题。此外我们将这些方法和结论推广，应用于可逆系统。我们还将利用无穷维的KAM方法研究一类浅水波方程，证明不同边值条件下的拟周期的存在性，取得一些深入的结果。此外我们利用变分方法和临界点理论研究一些偏微分方程的同宿轨问题，以及基解的存在性与稳定性问题，取得一些重要成果。

本项目“哈密顿系统与KAM理论若干问题研究”经过四年课题组成员的共同努力，基本上按原计划完成。利用我们发展起来的KAM理论技巧和变分技巧， 在具有退化情形的哈密顿系统， 可逆系统， 辛映射的KAM定理，浅水波方程的小振幅拟周期存在性问题， 以及具有更一般非线性项和位势的薛定谔方程组， 薛定谔泊松系统，基尔霍夫方程，椭圆方程组等问题的正解性， 多解性， 基态解和稳定解方面都取得了一些预期的或更好的结果。. 在退化情形的KAM理论方面，包括频率关于参数的连续光滑情形和具有法向一维退化平衡点的哈密顿系统，利用一些新的思想我们证明了相应的KAM定理。此外这些结果和方法可用于可逆系统和辛映射等得到相应的KAM定理。 这些结果较大的改进了已有的结果， 具有重要的理论意义。此外我们通过对Boussinesq浅水波方程的哈密顿结构分析， 利用无穷维KAM理论， 得到了一类 Boussinesq方程的小振幅拟周期的存在性。这是我们首次把无穷维KAM理论用于这类浅水波偏微分方程， 得到有意义的结果。 此外，我们利用临界点理论和变分方法的技巧， 研究了几类有关薛定谔方程， 基尔霍夫方程等一些偏微分方程的多解性，基态解和稳定解问题，在更一般的非线性条件和位势条件下， 推广了已有的结果， 也得到一些全新的结果。 在这期间， 共完成论文三十多篇.