非线性算子的理论及变分、拓扑方法对(偏)微分方程的应用

In this project, we shall study the theory and method of nonlinear functional analysis and applications to several kinds of (partial) differential equations and mathematical models from biology. The specific contents include: 1. By introducing a kind of new operator and starting from the applications to the boundary value problems, we will study the fixed point theorems of nonlinear operators in Banach spaces, and also study the new fixed point theorems of nonlinear operators in partially ordered metric spaces and the spaces with lattice structure；2. Under the sign changing Green functions or nonlinear functions, we will deal with the existence of solutions, multiple solutions and sign changing solutions to the (infinite) boundary value problems of nonlinear impulsive singular differential equations, and the solutions of singular impulsive differential equations with the integral boundary conditions in abstract spaces；3. We shall investigate the existence of positive solutions and their properties and the change character of the critical death rate along with the other parameters for the multi-species nonlocal reaction-diffusion-advection system modeling the growth of competitive pyhtoplankton species in a vertical water column；The dynamic behavior of solutions will be also discussed when the light intensity is periodic function about time；4. All kinds of behavior and character of solutions for the variable-territory predator-prey models will be obtained；Effect of predation rate and growth rate in the models on the properties of solutions will be also investigated under the nonhomogeneous environment. It has important significance to promote the theoretical development of nonlinear functional analysis and its cross research with the differential equations and reaction diffusion equations arising from the ecological models.

本项目主要研究非线性泛函分析理论与方法及对(偏)微分方程和生物数学模型的应用.具体内容包括: 1.通过引入一类新算子,从对边值问题的应用出发,研究Banach空间中非线性算子的不动点定理,并建立较弱条件下半序度量空间和格空间中非线性算子(组)新的不动点定理及应用；2.在核或非线性函数变号条件下,研究非线性脉冲奇异微分方程(无穷)边值问题的多解和变号解以及抽象空间中具有积分边值条件的奇异脉冲微分方程；3.研究多种不同浮游植物生长模型的非局部反应扩散方程的正解和解的性质,讨论临界死亡率的变化性态以及光照强度是时间周期时解的动力学行为；4.研究多个扩散variable-territory捕食-被捕食模型,获取解的各种性态及其性质；研究非均匀环境下模型中的捕食率和增长率等对解的性态的影响.本课题对于促进非线性泛函分析的理论发展及其在有重要生态学意义的微分方程和反应扩散方程中的交叉应用具有重要意义.

本项目主要研究非线性泛函分析理论与方法及对(偏)微分方程和生物数学模型的应用，对于促进非线性泛函分析的理论发展及其在有重要生态学意义的微分方程和反应扩散方程中的交叉应用具有重要的科学意义。. 项目基于非线性分析的方法和偏微分方程理论，开展相关研究工作，取得了一系列重要的研究成果。利用锥理论，建立了序Banach空间中非单调三元算子不动点的存在唯一性定理及其应用。通过单调迭代方法，得到了奇异分数阶p-Laplacian微分方程极值解的存在唯一性。得到了Gierer–Meinhardt系统解的全局存在和有限时间爆破条件；建立了几类SIS流行病反应扩散系统的基本再生数的临界动力学和地方病平衡点的全局稳定性；讨论了Sel'kov-Schnakenberg反应扩散系统平衡解的存在性和非存在性。利用挤压法和Lyapunov函数法，研究了Holling–Tanner型捕食-被捕食模型的行波解。研究了具有对流、自由边界的扩散logistic模型和燃烧型非线性项下的自由边界问题解的传播和消失。讨论了具有对流项的反应扩散SIS传染病模型的地方病平衡解的渐近行为。研究了一类SIBR反应扩散方程无病平衡点的全局渐近稳定、不稳定和行波解，以及包含季节性和寄生物外潜伏期的时间周期反应扩散模型的周期解。研究了具有一般边界条件的特征值问题的主特征值的渐近行为，揭示了对流和边界条件的影响。利用分歧理论，研究了浅水生态系统中海面和海底的海藻模型半平凡解的局部渐近稳定性和正解的渐近行为。研究了一类具有强Allee效应和保护区的反应扩散方程中保护区的作用。研究了斑块结构中的两个SIS传染病问题正平衡解的全局稳定性和渐近行为以及变化的人口总数的影响。研究了在河流网络结构中的反应扩散方程的基本理论和数值模拟结果。研究了空间高维情形下线性时间周期的抛物问题和一类二阶线性椭圆算子主特征值的渐近行为。. 上述研究成果丰富和发展了非线性泛函分析的理论及其应用，为实验和数值模拟结果提供理论支撑。