Brinkman多孔介质中二相流模型的长时间动力学行为

The two-phase flow models in porous media with dynamic boundary conditions or moving contact lines are widely applied in various of fields and of great value in research. Based on the systematic analysis of mathematical difficulties for the diffuse-interface models of two-phase flow in porous media , the objective of this project is to study the three-dimensional Cahn-Hilliard-Brinkman systems with the two different kinds of boundary conditions,respectively, by virtue of the theories of nonlinear functional analysis, partial differential equations and infinite dimensional dynamical systems. We deeply discuss the dynamics of such system with dynamic boundary conditions and consider the well-posedness as well as the long-time behavior of solutions for such system with moving contact lines. This project focuses on the studies of the mathematical theory and methods in practical applications, which not only plays an important role in designing more appropriate numerical schemes and understanding numerical simulations, but also reveals the basic law and physical mechanism of phase decomposition of the binary fluid flow in a Brinkman porous medium.

动力学边界条件或移动接触线的多孔介质中二相流模型具有广泛的应用背景和重要的研究价值。在对多孔介质中二相流扩散界面模型理论研究中亟待解决的数学难点问题进行系统梳理的基础上，本项目拟应用非线性泛函分析、偏微分方程与无穷维动力系统理论分别对具有这两种边界条件的三维Cahn-Hilliard-Brinkman系统进行研究，深入探讨具有动力学边界条件的此系统吸引子的问题，并解析此系统移动接触线问题解的存在性、唯一性及长时间动力学行为。本项目是实际应用驱动的数学理论和方法的研究，不仅为该问题数值格式的设计和算法的实现提供相应的理论依据，还对探索Brinkman多孔介质中二相流相分离的基本规律和物理机制具有重要的理论指导意义。

Cahn-Hilliard-Brinkman系统是一类非常重要的肿瘤增长扩散界面模型，其研究具有广泛的应用背景和重要的研究价值。本项目主要研究三维Cahn-Hilliard-Brinkman系统及相关模型的吸引子问题和最优分布控制问题。首先，针对缺失更高正则空间中有界吸收集存在性问题，为了得到解半群的渐近紧性，我们基于先验估计方法和渐近先验估计方法证明了三维大尺度大气海洋本原方程组全局吸引子的存在性；针对无法验证解半群在全局吸引子上的拟可微性及两条不同解轨道的光滑性质或挤压性质，我们结合l-轨线方法和无穷维动力系统方法证明了带有非线性阻尼的三维非自治Navier-Stokes方程组拉回指数吸引子的存在性及带有动力学边界条件的三维Cahn-Hilliard-Brinkman 系统有限维全局吸引子的存在性，这发展和推广了研究无穷维动力系统有限维吸引子的一种新方法。另外，针对最优分布控制问题，建立一阶最优性必要条件的目的是为了给出最优控制的一种刻画，同时也很大程度地简化了对该最优控制问题进行数值模拟时求解算子逆所带来的庞大计算方面的困难。而证明控制状态映射的Frechet可微性则很大程度地依赖于解的正则性，这会在分析和计算方面提供较大的难度。本项目结合非线性泛函分析的方法和最优控制理论研究了关于三维Cahn-Hilliard-Brinkman系统及一类二相流模型的最优分布控制的问题。