星型算子的弱同调理论及其应用

Star-operations are originated in the study of the construction of generalized Kronecker function rings by W. Krull. Star-operations have been proven to be an essential tool in multiplicative ideal theory, allowing one to characterize and investigate several classes of integral domains (such as Krull domains). In this project, we organically combine star-operation theory with the classical homology theory in terms of the w-operation and hope to establish, by introducing weak homology functors and dimensions, a weak homology theory for modules over commutative rings and then use it to study and characterize the class of commutative rings (such as Krull domains and Prüfer v-multiplication domains, etc.) arisen in multiplicative ideal theory, so that further enrich and develop classical commutative ring theory. More precisely, our research problems will contain the following: The construction of homological functors relative to the w-operation; The theory of weak homology dimension; The homological characterizations of w-coherent rings, Prüfer v-multiplication domains, and Krull domains; The weak homology dimension of w-coherent rings, and so on.

星型算子源于W. Krull对广义Kronecker函数环的构造研究。星型算子因其可以用来刻划和研究一些整环（如，Krull整环）而成为乘法理想理论中必不可少的工具。本项目旨在利用w-算子将星型算子理论和经典同调理论有机地结合，通过引入“弱”同调函子和“弱”同调维数来建立一套交换环上的弱同调理论，并用以研究和刻划乘法理想理论中产生的一些环类（如，Krull整环和PvMD等），从而进一步丰富和发展经典的交换环理论。主要的研究内容包括：相对于w-算子的同调函子的构造；弱同调维数理论；w-凝聚环、PvMD和Krull整环的同调刻画；w-凝聚环上的弱同调维数。

星型算子源于W. Krull对广义Kronecker函数环的构造研究。星型算子因其可以用来刻划和研究一些经典的整环（如，Krull整环等）而成为乘法理想理论中极其重要的研究工具。本项目主要利用w-算子将星型算子理论和经典同调理论结合起来，通过引入“弱”同调维数，建立了一套交换环上的“弱”同调理论，并用以刻划了乘法理想理论中产生的一些经典环类（如，Krull整环和Prüfer v-乘法整环等）。主要的结果有：（1）引入了交换环上的线性方程相对于w-算子的解的概念，给出了Prüfer v-乘法整环一个新的刻画。（2）引入了弱w-投射模以及模与环的弱w-投射维数，给出了Krull整环的一个同调刻画。（3）利用w-Nagata环和w-Nagata模，证明了关于w-凝聚环的Chase定理。（4）引入w-分裂模的概念，证明了关于w-投射模的Kaplansky定理。（5）通过弱w-投射维数引入了相对于w-算子的正则环的概念，研究了w-Noether环和w-凝聚环的w-正则性，并利用w-正则性刻划了Krull整环和Prüfer v-乘法整环，证明了关于w-Noether环的Serre--Auslander-Buchsbaum定理。此外，得到了w-Noether环的整体弱w-投射维数只能是0,1或∞。