拉格朗日平均曲率流的若干问题的研究

The project is on the research of long time existence, asymptotic behaviour, self-shrinkers and translating solutions of some specific Lagrangian mean curvature flow. Firstly, the long time existence and the convergence of the flow in Para-K?hler manifolds and K?hler-Ricci solitons are obtained, through studying the evolution equations with respect to the geometric quantities of mean curvature flow in higher codimension. If the singularities occur, then they are classified by means of the quantitative estimation of the curvature and applying the blow-up method. Secondly, it is proved that the self-shrinkers and the translating solitons satisfy Bernstein type theorem by combining level set technique with affine technique of studying Monge-Ampère equations. Thirdly, the stability of the translating solutions to Lagrangian mean curvature flow in pseudo-Euclidean Space is obtained through studying a fully nonlinear parabolic equation. The project is to be originated and provides some new idea and approach to the study of mean curvature flow in higher codimension. It's of great value to Partial Differential Equation and Differential Geometry.

本项目拟研究某些特定流形中的拉格朗日平均曲率流长时间存在性和渐近行为，以及其自相似解与转移解的性质。首先，通过研究与高余维平均曲率流相关的几何量所满足的发展方程，探讨 Para-K?hler流形和K?hler-Ricci solitons中的拉格朗日平均曲率流的长时间存在性及其渐近行为。如果在有限时间内出现奇点，那么可通过对自相似解和转移解的曲率做定量估计并结合'blow-up'方法得到该类曲率流奇点的分类。其次，结合Monge-Ampère方程的水平集方法和仿射几何技巧给出一类伪欧式空间中的拉格朗日平均曲率流的自相似解和转移解的刚性定理。最后，通过研究一类完全非线性抛物方程的长时间存在性建立相应的转移解的稳定性理论。该项目结果新颖，将为拉格朗日平均曲率流的研究提供新的思路与方法，加深对高余维平均曲率流的理解，对方程与几何两方面的研究都有重要意义。

本项目研究某些特定流形中的拉格朗日平均曲率流长时间存在性和渐近行为，以及其自相似解与转移解的性质。首先，通过引入一类发展方程的第二边值问题，研究其解的长时间存在唯一性及渐近行为，证明了随时间变化，解的凸性得到保持，由此用抛物方法证明了微分几何中拉格朗日极小微分同胚理论中的Brendle-Warren定理，该成果发表在国际泛函分析顶级期刊J.Functional.Analysis上。其次，利用经典的柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理，我们得到一类拉格朗日平均曲率流的自相似解的伯恩施坦定理，该项成果发表在广西师范大学学报-自然科学版上。最后，研究拉格朗日平均曲率流在伪欧式空间中的转移解，通过观察解在某种意义下的旋转不变性，对解的二阶导数做先验估计，利用项目主持人之前得到的对数蒙日安培流的收敛性，达到该转移解的分类，所需条件接近最佳，该项成果发表在国际综合性数学期刊International of mathematics上。除此以外，在该项目的支持下，项目组成员陈娟娟研究了双曲抛物面上参数样条的相关问题，构造了广义双曲抛物面上新的参数形式，并且得到了它在某种条件下的G2连续性和其上的样条曲线构造的具体方法以及分析了样条逼近效果，该成果发表在国际综合性数学期刊Journal of Computational and Applied Mathematics上。该项目结果新颖，将为拉格朗日平均曲率流和拉格朗日极小微分同胚相关问题以及相应的数值计算的研究提供新的思路与方法，加深对高余维平均曲率流的理解，对方程与几何两方面的研究都有重要意义。