管道网络中一维气体Euler方程的能控性及稳定性

The project will study the problems of controllability and stabilization for two nonlinear hyperbolic systems of conservation laws arising from the fields of sciences of physics, mechanics and material science: 1-D isentropic Euler equation and 1-D non-isentropic Euler equation on networks. The associated research on control problems for this kind of systems is a forward direction in modern mathematics, and is attracting more and more attentions. However, due to the difficulty in theoretical analysis on hyperbolic systems of conservation laws in the framework of entropy solutions, as well as the complexity and variety in reality, it is a big challenge to study control problems for such systems in the context of entropy solutions in recent decades. Moreover, it is more difficult and more complicated to consider these problems on networks. Therefore, an intensive study on these problems not only needs creativities on both theories and applications, but also brings important impacts on the research on nonlinear hyperbolic systems of conservation laws.

本项目拟研究在物理、力学、材料科学等学科中出现的重要的非线性双曲守恒律系统模型的能控性及稳定性：管道网络中一维等熵、非等熵气体Euler方程模型，研究由这类系统支配的控制问题，是近代数学中一个广受关注的前沿研究方向。但由于对双曲守恒律系统的熵解在理论分析上有很大的难度，且实际问题往往具有很大的复杂性和多样性，研究这类系统的熵解的控制问题是近几十年来国际上极具挑战的、重要的学术问题，而在网络上研究这一类问题则具有更大的难度。因此，对这些问题开展深入细致的研究，不仅需要在理论和应用上创新，而且必将对非线性双曲守恒律系统的研究产生重要影响。

非线性双曲系统是在物理学、力学、材料学等中出现的最重要的偏微分方程之一。对其相应的控制问题的研究，是近代数学研究中的一个前沿领域，不仅是对新的数学方法与技巧的创新，更是对工业生产生活等应用产生重要的影响。在本课题中，一方面我们对一维等熵气体Euler方程模型通过分析并构造适当的Lyapunov函数，得到了其边界反馈稳定性；另一方面，对于一维拟线性双曲系统以及一维拟线性波动方程，我们对其解的渐近性态进行了相关的研究，得到了其节点状态能控性的渐近稳定性。这些问题的研究都是极具挑战的、重要的学术问题。对非线性双曲系统的能控性及稳定性的研究无论从理论价值的角度还是实际应用的角度，都是十分具有意义的。