非线性变分不等式问题的迭代算法

Variational inequality problems of nonlinear mappings are abstracted from practical problems and hence they have profound practical background. Although existing theory results are comparatively perfect，they also have certain limitations. For example: The convergence conditions of iterative sequences are stronger，it is not easy to compute the iteration point, convergence speeds of iterative sequences are slower, the properties of convergence point are uncertain, theory results in Banach spaces are less, etc. The purpose of this item is to study iterative algorithms for variational inequality problems of various nonlinear mappings and provide comprehensive reliable theoretical basis for actual workers. The main research contents are as follows: 1. Weaken conditions on mappings and spaces of classical variational inequalities by combining monotone hybrid projection algorithms and extragradient algorithms. 2. Study some general variational inequalities by using the monotone hybrid projection algorithm. 3.Apply the subgradient extragradient algorithm to modify the monotone hybrid projection algorithm for reducing it's calculation difficulty. 4. Modify viscosity approximation sequences to weaken control conditions and quicken convergence speeds by using the monotone hybrid projection algorithm.

非线性映射的变分不等式问题是从实际问题中抽象出来的，有着深刻的实际背景。现有的理论成果虽然比较完善，但也有其局限性，比如迭代序列收敛条件要求较高、迭代点不易计算、收敛速度较慢、收敛点的性质不明确、Banach空间中的该理论成果相对较少,等等。本项目旨在研究各类非线性算子变分不等式的解的迭代方法，为实际工作者提供更为广泛可靠的理论依据。其主要研究内容有：1、联合单调杂交投影算法与外梯度算法减弱古典变分不等式对映射与空间的限制条件；2、利用单调杂交投影算法讨论一些广义变分不等式；3、利用次外梯度算法修正单调杂交投影算法降低其计算难度；4、利用单调杂交投影算法修正粘滞逼近序列，减弱控制条件，加快收敛速度。

最近几年,变分不等式理论的思想和技巧越来越多地应用于纯科学与应用科学中的许多分支，它为许多问题提供了简单、有效、统一的理论框架，是当今非线性分析的重要组成部分。本项目旨在研究各类非线性算子变分不等式的解的迭代方法，为实际工作者提供更为广泛可靠的理论依据。其主要研究内容有：1、在Banach空间中建立广义变分不等式的迭代算法；2、减弱古典变分不等式对映射与空间的限制条件；3、降低迭代点的计算难度，加快迭代算法的收敛速度；4、修正粘滞迭代算法，放宽控制条件，从而加快收敛速度；5、建立两类或三类问题公共解的迭代算法。本项目完成了预定目标。主要成果有：.①利用单调杂交投影算法与广义迭代算法讨论了广义变分不等式。.②将一些只在Hilbert空间有讨论的迭代算法推广到了Banach空间，降低了古典变分不等式对映射的所需条件，降低了变分包含对扰动算子的要求条件，减少了函数值的计算次数，提高了迭代序列的收敛速度。.③通过重新构造集序列的形式，降低了Banach空间中一些迭代算法的计算难度。.④通过在内循环中应用修正后的CQ算法，提高了粘滞迭代算法的收敛速度。.⑤在Banach空间利用单调杂交投影算法将映射的单调性减弱为伪单调性。.⑥在Hilbert空间或Banach空间讨论了变分不等式问题、平衡问题、不动点问题、变分包含问题当中两类或三类问题的公共解。.这些成果不但丰富了变分不等式及其相关理论，而且用到的思想方法和技巧也将对相关领域的理论和应用研究起到重要的参考价值和借鉴作用，并为进一步开展深入的研究打下坚实的基础。.项目组共完成论文十九篇，已发表十六篇，其中四篇SCI检索（三篇第一标注，一篇第三标注，），另外三篇已分别被《数学物理学报》、《应用数学》与《Journal of Advanced Mathematical Studies》接收。