谱方法在细胞内钙动力学数学模型中的应用

Ca2+, serving as a second messenger, plays an important role in many physiological processes. It transmits information between cells as well as regulates diverse cellular functions. The research of the intracellular calcium signal and its dynamics has become one of hot topics. Mathematical modeling provides an important approach to reapear and investigate the evolution process of the intracellular Ca2+. By numerical simulation of the mathematical models and comparsion with experimental data we can not only see the inside of the mathematical models but also find better theoretical basics for improving the modeling. In the present project, we will use the high accuracy spectral method and its domain domecomposition method(spectral element method) to simulate the mathematical models of intracellular calcium dynamics. Particularly, for the mathematical models described by partial differential equations, we will construct the spectral method schemes with high-speed as well as good stability in computation,and program the corresponding application software. We hope to formulate the framework for the corresponding numerical analysis. We will analyze the posteriori error estimation of spectral element method,so that we could come up with a new and effective numerical method with high accuracy. The research will be helpful for investigating intracellular calcium dynamics and applying the spectral method to more fields.

钙离子作为第二信使在细胞内传播着信息和调节着多种细胞的功能，细胞内钙离子信号及其产生机理是目前研究热点之一。借助于数学模型在一定程度上重现细胞内钙离子的发展演化过程是研究钙信号的一种重要方法。对细胞内钙动力学数学模型进行数值模拟,并和实验结果比较,可以更好地解释数学模型,并为数学模型的进一步修正提供理论依据。本项目将应用具有高精度的谱方法及其区域分裂方法（谱元法）数值求解细胞内钙动力学数学模型，对于由偏微分方程描述细胞内钙动力学的一类数学模型问题，构造计算快捷、稳定性好的谱方法，并编制相应的应用软件；在理论上建立相应的数值分析框架，分析数值方法的后验误差估计，为细胞内钙动力学数学模型的数值求解提供新的强有力的工具，开拓谱方法新的应用领域。

寻找快速有效的数值计算方法来解决实际问题一直是计算数学工作者追求的目标之一，而许多好的计算方法也是在此基础上发展完善的。本项目考虑把Chebyshev- Legendre耦合谱方法与谱元法相结合，提出快捷有效的可并行化实现的谱元素法，结合随机谱方法将其应用于反应扩散方程，获得方法的收敛性理论分析结果，进而应用到钙动力学的数学模型的数值模拟中。获得了如下主要结果：1）对于带有随机输入的Burgers方程采用广义多项式混沌法，提出了随机Legendre-Galerkin Chebyshev配置方法，进行了数值实验，并做了理论分析。2）对经典的二阶非线性模型方程二维涡度方程采用多区域Chebyshev-Legendre谱配置(MLGCC)方法。在子区间上运用Legendre-Galerkin Chebyshev 配置方法，对于非线性项采用Chebyshev配置方法。结合Legendre方法具有的良好稳定性和Chebyshev配置法可借助快速变换计算的优点，使系数矩阵稀疏，且可以并行计算。3）求解时间分数阶对流-扩散方程的局部间断Galerkin谱方法，在空间方向上，按局部间断Galerkin谱方法进行离散，在时间方向上，对 阶Caputo时间分数阶导数按有限差分格式进行离散，非线性项和源项采用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值，从而得到有限差分-局部间断Galerkin谱全离散格式，并且给出了其全离散格式线性情形下的稳定性和收敛性分析，并将方法通过数值算例和单区域方法，以及GMMP方法、有限差分方法等方法进行比较，获得了更好的数值计算结果。4）对二维非线性反应扩散方程提出了局部间断Galerkin谱元方法，进行了稳定性和收敛性分析，并给出了数值计算结果，获得了好的收敛性。5）完善了一种基于多边形的二阶偏微分方程的三角形谱元法(TSEM)，获得了相关的理论结果，并进行了数值实验。这些工作都为将谱方法推广使用到具有反应扩散方程基本形式的钙动力学模型方程提供了重要的理论依据。