代数曲面和分歧尖点曲线的问题研究

本项目将研究代数曲面中的一些经典的问题：一般覆盖的分歧曲线的代数几何刻画；低次的分歧尖点曲线的基本群的计算；该问题意义是曲面的分类问题转化为一些曲线的分类问题,这是代数几何学家一直试图解决的问题。另一方面，试图证明莫毅明猜想：带有纤维化的球商曲面中的奇异纤维中的曲线都是测地线，这个问题的解决有助于了解球商曲面的射影结构，同时，利用阿贝尔覆盖的方法构造更多的球商曲面，由于历史上，人们只知道几个球商曲面的例子，这种新例子的发现在代数曲面的分类理论中将很有意义。作为该项目研究的一个应用，我们可以通过代数曲面的几何结构来得到一些有趣的直线排列的拓扑性质。另外，我们将研究复几何中一个基本的问题是：两个有界区域的双全纯等价的判定。特别地，我们研究奇点领域拟凸CR流形边界的等价分类问题。

本项目主要取得了两个方面的成果，一个是在奇点不变量方向，另一个是在代数曲面分类方向。.1.丘成栋在1981年发表在 Duke Math. J. 上的一篇论文中提出的一个关于Griffiths 数的不等式猜想。项目负责人与合作者通过局部上同调与奇点Griffiths数的关系，发现此猜想对于一些高维商奇点不成立，并证明了Griffiths数猜想对于非正则奇点(irregular singularities) 成立。文章已被 Annales de l＇Institut Fourier 接受。.2.在丘成栋考虑复几何中的复柏拉图问题时，引入了两个新的奇点不变量f(1,1) 和g(1,1)，并提出了以下猜想：.猜想：对于正规曲面奇点，不变量 f(1,1) 和g(1,1) 严格大于零。.项目负责人和合作者先后在2篇文章中证明了这些不变量对曲面有理奇点和极小椭圆奇点都大于等于1，而且证明了对于极小椭圆奇点，不变量g(1,1)可以任意大。同时，对于曲面的有理三重点，我们证明了这两个不变量等于1。作为应用，申请者和合作者证明了对于一些“好”的实 3 维流形，它是光滑流形的边界当且仅当 g(1,1)＝0。同时，应用这些不变量的结果，解决了某些特别情形的复的柏拉图问题。.文章分别发表在 Pacific Journal of Math.和 Methods and Applications of Analysis 。.3.典范映射是分类代数曲面的一般方法。项目负责人与合作者运用Abel 覆盖方法，分类了典范映射是到射影平面上阿贝尔覆盖的代数曲面，并用阿贝尔覆盖分别构造了相应的曲面。文章Canonical maps of surfaces defined by Abelian covers发表在 The Asian J. of Math.上。.4.项目负责人与合作者通过对三维terminal奇点和canonical奇点的研究，解决了实5维非超曲面型的复柏拉图问题。文章已投稿。.5.对曲面情形的复柏拉图问题，去掉了2次全纯De-Rham上同调为0的这个条件，使得曲面情形的复柏拉图问题完全解决。文章已投稿。.本项目发表文章4篇,其中3篇为SCI.