多复变函数空间上几个问题研究

Several variables complex analysis is one of the hot spots in modern mathematics research. This project mainly studies some typical holomorphic function spaces and the operator theory on these function spaces in Cn. The content includes the equivalent characterizations to function spaces, the discussion of the conditions about boundedness and compactness to several commonly used operators, the spectral structures of composition operator, the solvability of Gleason problem on function spaces, atomic decomposition of function spaces and so on. In particular, it focuses on studying the equivalent characterizations of F(p,q,s) type space in bounded symmetric domains, the atomic decomposition of the mixed norm space on the unit ball, the necessary and sufficient condition of boundedness or compactness to F(p,q,s) space on the unit ball and so on. The composition operator theory, the Gleason problem on holomorphic function spaces and atomic decomposition that this project involves are the most important research problems on international mathematical circles. To carry out this research project, one side, it may provide the theory basis and basic conclusion for many branches of complex analysis and operator theory; on the other hand, due to the extension of research and application, it may promote some relative directions to common development.

多复变是现代数学研究的热点之一，本项目主要研究Cn中一些典型全纯函数空间以及这些函数空间上的算子理论，包括函数空间的等价刻画、几种常用算子的有界性和紧性条件的讨论、复合算子的谱结构、函数空间上Gleason问题的可解性及函数空间上函数的原子分解等。重点研究有界对称域上F(p,q,s)型空间的等价刻画，单位球上混合模空间之可逆复合算子的谱结构、单位球上混合模空间的原子分解以及F(q,q,s)空间到自身复合算子为有界算子或紧算子的充要条件等。本项目中所涉及的复合算子理论、全纯函数空间上的Gleason问题、原子分解是近来国际数学界研究的重要问题。开展本项目研究一方面可以为复分析许多分支以及算子理论提供理论依据和基础性结论；另一方面由于研究和应用的广泛性可以携同一些相关学科共同发展。

本项目利用多变量复分析结合调和分析与泛函分析交叉的方法以及Bergman型度量、Finser型度量、次调和性质、原子剖分法、精准示性函数等一系列工具，系统地研究了算子问题、函数空间等价刻画问题、谱问题、积分估计问题、Gleason问题、原子分解问题等。在JFA、JMAA等国外期刊及数学学报、数学年刊等国内期刊发表学术论文30余篇；从事学术交流30多人次，并在会上多次交流研究成果；培养博士、硕士研究生32人（毕业和在读），并有2人获得湖南省优秀硕士学位论文。以上详情见正文。总之，通过本项目的研究，一方面为复分析许多分支及算子理论提供了理论依据和基础性结论，另一方面由于研究和应用的广泛性而携同一些相关学科取得了共同发展，同时为人才培养起到了重要作用。