多复变全纯函数空间及其上的算子研究

In this project, we mainly study the structures of the spaces of holomorphic functions on strongly pseudoconvex domains or bounded symmetric domains in several complex variables such as Hardy space, Bergman space, Bloch space, Dirichlet space and Q_p space.We also study the properties of operators on these spaces induced by holomorphic mappings, including boundedness, compactness, weak compactness, trace ideal criteria etc. This is the product by the integration of complex analysis of several variables with functional analysis and harmonic analysis. Now that composition operators on Hardy space of the unit ball are not necessarily bounded, the holomorphic function spaces of several complex variables have deep distinction with counterparts in one complex variable. So the operator theory of holomorphic function spaces in several complex variables have been followed extensively and developed rapidly, but there are many problems to be solved yet. We shall strive to make some breakthroughs on some open problems by means of the Kobayashi geometry of strongly pseudoconvex domain and the Jordan representation of bounded symmetric domain. Thereby, we will obtain essential generalizations of some results of the classic holomorphic functions in complex balls or polydiscs, which will have important theoretical significances.

本项目主要研究多复变中强拟凸域与有界对称域上的若干全纯函数空间的结构，包括Hardy空间、Bergman空间、Bloch空间、Dirichlet空间、Q_p空间等等，以及这些空间上由全纯映照所诱导的算子的性质,包括复合算子和Toeplitz算子的有界性、紧性、弱紧性、迹理想定则等等。这是多复分析与泛函分析以及调和分析相结合的产物。由高维复球上Hardy空间的复合算子并不必然有界可见多复变全纯函数空间与单复变情形有着深刻的差别，因此多复变全纯函数空间上的算子理论一直受到广泛关注而且发展迅速，但是仍有许多问题尚待解决。本课题将结合强拟凸域的Kobayashi几何以及有界对称域的Jordan表示，力争在某些公开问题上取得突破，从而给出经典的复球和多圆柱上全纯函数空间相关结果的实质推广,因此具有重要的理论意义。

本项目主要研究了多复变数的全纯函数空间上的复合算子理论。由高维复球上Hardy空间的复合算子并不必然有界可见多复变全纯函数空间与单复变情形有着深刻的差别，因此多复变全纯函数空间上的算子理论一直受到广泛关注而且发展迅速，但是仍有许多问题尚待解决，同时，由于复合算子的研究糅合了函数论与泛函分析的技巧与思想，因此对这两个领域的研究均有促进，从而在理论上具有重要意义。 本项目自执行以来，主要取得了如下重要成果：1。 对狄利克雷级数组成的希尔伯特空间，我们研究了其上的复合算子的 厄米特性、弗雷德霍姆性、可逆性等等，对这些性质给出了完整的刻画；2。 对于Fock空间上的复合算子，计算出了其范数的具体表达式，从而验证了MacCluer等人的一个猜测；3. 对于Hardy空间到加权Bergman空间的乘法算子，给出了有界性和紧性的具体条件，扩展了赵如汉的研究成果；4. 在加权Bergman空间上的复合算子的拓扑结构上，得到其连通性的一个刻画；4. 对于Fock-Sobolev空间，完全解决了相应的Gleason问题；5. 对于加权Fock空间的复合算子，给出了其有界性与紧性的完整刻画；5. 对于Hardy空间到加权Bergman空间的Toeplitz算子， 给出了其有界性与紧性的充要条件。