多复变函数空间及其上的算子的分析性质

Complex harmonic analysis and function space theory are the frontier researches in basic mathematics. Invariant potential theory associated with the Laplace-Beltrami operators in several complex variables is essentially different from classical potential theories on R^n and the complex unit disc. So the research on function spaces with invariant potential theory has many new important topics. Based on our previous research, we mainly study the analytical properties of holomorphic function spaces and operators in the unit ball of C^n. Especially, we devote to studying Carleson measure, pointwise multipliers and corona type theorem on Besov-Sobolev spaces by means of invariant potential theory and harmonic analysis. The innovation of this project lies in the effective combination of functional analysis and real harmonic analysis, and in using the concepts and methods of real harmonic analysis to solve the questions in complex analysis. Some new approaches and techniques will be used, which are different from the case of one complex variable.

复调和分析与函数空间理论是基础数学中的前沿研究方向。多复变中关于Laplace-Beltrami算子的不变位势理论与复单位圆盘和R^n上经典位势理论存在着本质差别，从而，与不变位势理论结合的函数空间研究有了许多具有重要理论价值的新课题。本项目在原有工作的基础上，应用现代位势理论和调和分析的方法研究C^n单位球中某些全纯函数空间及其上的算子的分析性质。 特别研究单位球上Besov-Sobolev型空间上的Carleson 测度，点态乘子以及corona型问题。本项目的创新之处在于泛函分析与实调和分析的有效结合，以及借助实调和分析的概念和方法去解决复分析中的问题。一些不同于单复变情形的新的证明方法与技巧被运用。

本项目主要研究C^n单位球中某些全纯函数空间上的算子及分析性质。我们研究了C^n单位球中从Hardy空间到加权Bergman空间上的点态乘子，给出了C^n单位球中从Hardy空间到加权Bergman空间上的点态乘子的有界性和紧性的充要条件。并借助Schur定理，给出了C^n单位球中F(p,q,s)空间上的原子分解。我们还研究了Fock空间上的复合算子的本性范数，正规性，谱以Schatten类。