超对称可积系统：master对称、Cartan-Maurer方程

The supersymmetry was introduced into the theory of integrable systems in late seventies of last century. Such combination of two seemingly irrelevant theories extensively widens the scope of integrability on the one hand, and provides super objects with more opportunities to exercise influence over both mathematics and physics on the other hand. The novel properties exhibited by supersymmetric (SUSY) integrable systems distinguish them from their classical ancestors and endow them with special value. .This project concerns two topics. On the one hand, we plan to investigate integrability of some supersymmetric equations through master symmetries, including SUSY third order Burgers equation, SUSY fifth order Korteweg-de Vries equation, SUSY Camassa-Holm equation etc. On the other hand, the SUSY zero curvature equation and Cartan-Maurer equation will be systematically studied to establish supersymmetric counterparts of the Kaup-Newell and Wadati-Konno-Ichikawa spectral problems.

上世纪七十年代末，超对称被引入可积系统理论中。这两个“不相关”的理论的结合，一方面极大地拓展了可积性的研究范围；另一方面为数学、物理中的超对象提供更多展示其作用的机会。超对称可积系统表现出的新颖性质使其独立于经典可积系统、赋予它们独特的研究价值。.本项目涉及两方面的研究内容：其一，我们将借助master对称研究一些超对称方程的可积性，包括超对称三阶Burgers方程、超对称五阶Korteweg-de Vries方程和超对称Camassa-Holm方程等；其二，系统研究超对称零曲率方程和Cartan-Maurer方程，以建立超对称Kaup-Newell和Wadati-Konno-Ichikawa谱问题理论。

从上世纪七十年代起，超对称可积方程与超可积方程，得益于它们的新颖性质，成为数学物理领域有吸引力的课题。本项目致力于从代数方面研究超方程、超对称方程的可积性，尤其是它们的对称、守恒律、哈密顿结构等。.根据本项目研究计划，我们把符号表示推广到N=1超对称微分多项式环上，在对称方法框架下利用符号表示对某型任意阶N=1超对称发展型方程进行分类，得到特定类型N=1超对称可积方程的完整列表。作为这项工作的副产品，我们证明了N=1超对称三阶Burgers方程及N=1超对称五阶KdV方程具有无穷多高阶无穷小对称，故两个方程都是可积的。我们提出一个超对称矩阵谱问题，由其生成N=1超对称Kaup-Newell族，计算了相应的守恒律。.受本项目支持，我们还研究了一些相关课题，得到几个结果。我们分类出具有五阶对称的K(m,n)方程，通过适当的变量变换构造了其中拟线性方程的双Hamilton结构。从递推算子的特征函数的拟设，我们构造了Kupershmidt的扩展色散水波方程的线性谱问题，并计算其修正系统。对广义Riemann方程，我们引入适当动力变量，建立了该方程的依赖于任意函数的守恒量；通过分类一种超斜对称算子，我们得到一些新的超双哈密顿系统，如：超Hunter-Saxon方程、超Camassa-Holm方程等。.基于上述成果，本项目已在国际刊物上正式发表四篇论文，另有一篇论文已被Applied Mathematics Letters接收。发表在Studies in Applied Mathematics的那篇文章被该杂志编辑委员会评选为“Highlights of the Year 2017”。