超对称可积系统的可积性、离散化和对称分类

The project is mainly devoted to study the integrability, integrable discretization and symmetry classification for supersymmetric integrable systems. The main features of this project are to establish connections between supersymmetric integrable systems and discrete integrable systems and to apply the symmetry approach to classification of classical integrable systems to the supersymmetric integrable systems. The research including:. 1) Study the properties of some supersymmetric integrable equations, such as Hirota's bilinear forms, Darboux transformations, Bäcklund transformations, multi-soliton solutions, etc; .2) Further study the discrete systems of N=1 supersymmetric integrable sytems, extend the Darboux-Bäcklund transformation and Hirota's method to the integrable discretization of N=2 supersymmetric integrable systems and super systems, respectively, construct and discover the new super discrete integrable systems;.3) Establish the classification theories for supersymmetric integrable systems, super integrable systems and super differential-difference integrable systems, classify the low-order equations and discover new systems. .This research can enrich and improve the theory of supersymmetric integrable systems and super discrete integrable systems, and has important research value.

本项目主要研究超对称可积系统的可积性、可积离散化和对称分类. 本项目的主要特色是将超对称可积系统与离散可积系统建立联系, 将经典可积系统中的对称方法应用于超对称可积系统的分类问题. 主要研究内容包括：.1) 研究一些超对称可积方程的性质, 如 Hirota 双线性化、Darboux变换、Bäcklund 变换、多孤子解等; .2) 进一步研究 N=1 的超对称可积系统的离散化, 分别将 Darboux-Bäcklund 变换离散化方法和 Hirota 可积离散化方法推广到 N=2 的超对称可积系统和超系统中, 构造和发现新的超离散可积系统; .3) 建立超对称可积系统、超可积系统和超微分-差分可积系统的对称分类理论, 分类低阶方程, 并发现新方程. .研究课题可以丰富和完善超对称可积系统和超离散可积系统理论, 具有一定的研究价值.

达布变换和贝克隆变换是构造非线性方程不同解和发现新离散方程的有力工具之一。本项目对多个经典和超对称可积系统的达布变换、贝克隆变换以及可积离散系统的构造进行了研究. 构造了广义 Hirota-Satsuma 耦合 KdV 系统的达布变换, 并考虑了三种约化情形。 给出了该达布变换的迭代公式和相关系统的解。对于超对称 Sawada-Kotera 方程, 构造了达布-贝克隆变换和相应非线性叠加公式, 并运用它们生成方程的解和半离散系统。对其中一个离散系统取连续极限,可回到势超对称 Sawada-Kotera 方程。对于超对称 two-boson 族, 给出了三个达布-贝克隆变换和一个非线性叠加公式。从而获得了超对称 two-boson 方程和 N=2, a=4 超对称 KdV 方程的 1 孤子解和离散系统。此外, 还分别构造了经典 Boussinesq 方程的三个贝克隆变换和离散系统，Manin-Radul 超对称 KdV 方程的贝克隆变换、叠加公式和离散化, fully 超对称 AKNS 系统的 2 个初等达布-贝克隆变换以及 N=2, a=1 超对称 KdV 方程的达布变换。