超对称可积系统：变换与对称

The theory of supersymmetric integrable systems has been a subject of extensive studies recently. The current project will concentrate on the following aspects.. First, we will consider the supersymmetric reciprocal transformations in the supersymmetric content. In particular, we are interested in possible reciprocal transformations for the extended supersymmetric integrable systems such as N=2,3,4 supersymmetric systems.. Second, we will study solution methods for the integrable systems. The extension of Hirota's theory to the supersymmetric systems will be one of our main concerns.. Third, we will continue our work on supersymmetrizations of classical integarble systems. We are interested in the theory of generalized symmetries or Lie-B?cklund symmetries and their relevance in this research.

超对称可积系统理论是孤立子理论的重要组成部分，本项目将在这一方向展开研究。首先，我们将探讨变换在超对称可积系统的理论中的应用。特别地，我们构造扩展（即N=2,3,4）超对称可积系统的反向变换并深入研究这种变换的应用，如证明方程的可积、构造新的可积系统以及系统的解。.其次，我们将继续推进超对称可积系统解的构造方法的研究。Hirota理论在超对称方程中的推广是我们研究的重点。.最后，我们将研究经典可积系统的超对称化问题。经典理论，特别是广义对称（或Lie-B?cklund对称）理论的拓展是我们主攻方向。

超对称可积系统的研究集中在三个方面：（1）建立了超对称Hamilton系统Hamiltonian算子的变换公式，它是Olver经典情况的超对称拓展。（2）构造了若干超对称可积系统的Darboux变换（DT）及Bäcklund变换（BT）和离散化。研究了超对称AKNS谱问题的初等及二元DT，从而在统一框架下讨论了三个重要的超对称可积系统（超对称MKdV、超对称sinh-Gordon以及超对称NLS）。其次，改进了之前的一个结果，得到了超对称KdV方程的DT和BT，由此将它可积离散。最后，通过讨论Holod和Pakuliak的更一般谱问题的DT以及适当的约化，给出了Kuper-KdV系统的DT、BT及其离散系统。（3）用tri-Hamiltonian对偶讨论了超对称two-boson系统，并揭示了新系统与N=2超对称Camassa-Holm方程之间的关系。将超对称的reciprocal变换用到经典KdV和MKdV方程，构造了两个新的超对称可积系统。此外，由Lie点对称群找出了超对称two-boson方程真正的Bäcklund参数，并构造了非线性叠加公式。.在经典可积系统的研究中，研究成果包括：（1）Darboux变换。构造了DNLS的两个广义Darboux变换并求出其高阶解；给出了Ito方程的DT，并证明相应BT与Ito的一致，构造了非线性叠加公式；通过三阶带弱非局域项的Lax算子，得到了Drinfeld-Sokolov-Wilson方程的DT、BT变换及非线性叠加公式。最后，研究了Wu-Geng-Hu-Zhu提出的与广义Hirota-Satsuma耦合KdV系统相关的谱问题，构造了适合于各种约化的DT.（2）Camassa-Holm(CH)类型方程。成果包括：给出了Geng-Xue的两个CH型方程的双Hamiltonian结构；证明了Song-Qu-Qiao族与WKI族的tri–Hamiltonian对偶性；将Fokas-Lenells系统推广到向量情况；用reciprocal变换研究了多个CH型方程；提出了一个四分量CH型方程族。（3）其它成果。研究了一般的一阶非线性偏微分方程，通过遗传性条件，导出了一般的1+1维和2+1维可积非线性扩散方程。另外，通过合适的reciprocal变换，对Wang关于Hunter-Saxton方程的结果做了合理的解释。