超对称可积系统与反向变换

In 1970s, supersymmetry was introduced into the theory of integrable systems, which extensively widened the scope of integrability. Sharing some common features with classical integrable systems, supersymmetric integrable systems also exhibit some novel properties, which distinguish supersymmetric integrable systems from their classical ancestors. Hence, the theory of supersymmetric integrable systems has always been an attractive and important subject in the field of mathematical physics.. This project concerns about three topics. First, we plan to generate some new N=1 supersymmetric integrable systems of Harry Dym type through supersymmetric reciprocal transformation, and to investigate their integrability. Second, the integrability of supersymmetric 3rd order Burgers equation, supersymmetric 5th order KdV equation and supersymmetric Schr?dinger system with a parameter will be investigated, and the linear spectral problems or bilinear forms of these systems are expected to be established. Third, based on the intimate relation between N=2 supersymmetric Harry Dym equations and N=2 supersymmetric KdV equations, we try to propose a general procedure to construct reciprocal transformation for any N=2 supersymmetric equation, and to study integrability of N=2 supersymmetric Harry Dym equations through N=2 supersymmetric reciprocal transformation.

上世纪七十年代，超对称被引进到可积系统理论中，拓宽了可积性的范围。与经典可积系统分享共同性质的同时，超对称可积系统还表现出一些新颖的性质，这使超对称可积系统有其独特的研究价值。因此，超对称可积系统理论一直是数学物理领域的一个有趣、重要的研究课题。. 本项目涉及三方面的研究内容：第一，利用N=1超对称反向变换产生一些新超对称Harry Dym型方程，并研究它们的可积性质；第二，建立超对称三阶Burgers方程、新超对称五阶KdV方程以及含参数超对称Schr?dinger系统的可积性质，希望得到这些方程的线性谱问题、双线性形式等；第三，基于N=2超对称Harry Dym方程与N=2超对称KdV方程之间的联系，研究N=2超对称方程的反向变换的构造方法，并借助反向变换，研究超对称Harry Dym方程的可积性。

上世纪七十年代，“超对称”这个概念被理论物理学家提出后，迅速渗透到物理、数学的众多分支，促进了它们的发展。作为超对称与可积系统理论相结合的产物，超对称可积系统一方面具有经典可积性质，另一方面还表现出一些新奇的特征，使其成为非线性科学中有趣且重要的研究课题。.围绕N=1超对称可积系统与反向变换，本项目获得两方面的成果：第一，利用N=1超对称反向变换，从经典Korteweg-de Vries（KdV）方程和modified KdV方程产生了两个新的非标准型超对称方程，并给出它们的Lax表示证明其可积性。第二，通过研究超对称Euler导数在广义超共形变换下的行为，建立了超对称可积方程的超Hamilton结构在广义超共形变换下的变换公式。作为一般公式的应用，我们通过超对称反向变换构造了两个超对称Harry Dym型方程的双Hamilton结构。.本项目协助指导一名硕士生完成毕业论文；另外，完成一篇研究论文，已投稿至国际期刊“Nonlinearity”。