一类Monge-Ampère方程解的边界行为

In affine differential geometry, a complete hyperbolic affine hypersphere corresponds to a zero-boundary value equation on a bounded convex domain , and in relative differential geometry, some curvature equations also correspond to similar Monge-Ampère equations. A problem is how to describe the boundary behaviors of their convex solutions. On the other hand, the characteristic functions on bounded convex domains have relations with these convex solutions, and have asymptotic expansions near the boundary, but the geometrical meaning of coefficients in the expansions are not good known. In this project we use the theory and methods of affine geometry and Monge-Ampère equation to study: using the affine invariants to describe the coefficients in the expansions of characteristic functions; giving derivative estimates of convex solutions of these Monge-Ampère equations. These results can be use to describe the boundary behaviors of solutions and the global properties of corresponding hypersurfaces.

仿射微分几何中, 完备双曲型仿射球对应一个在有界凸区域上的零边值方程, 相对微分几何中的一些曲率方程也归结到类似的蒙日-安培方程, 因此一个问题是如何刻画这些方程凸解的边界行为. 另一方面与这些方程解有联系的是凸区域上的特征函数, 它在区域边界附近有渐近展开式, 但展开式中系数的几何意义并不完全清楚. 本项目结合仿射几何与蒙日-安培方程的理论技巧, 研究用边界曲面的仿射不变量来表示特征函数展开式中的系数; 并对这类方程的凸解建立导数估计, 用来刻画解的边界行为及对应超曲面的整体性质.

本项目主要研究了一类 Monge-Ampère方程解的边界行为, 凸区域上特征函数的渐近展开式, 及一类黎曼度量的截面曲率的边界性质. 在二维情形, 我们得到了完备双曲型仿射球方程解的任意阶导数估计. 对于相对微分几何中的一类 Monge-Ampère方程, 我们得到了其凸解的二阶导数估计. 对于有界凸区域上的 p-阶特征函数, 我们得到了它关于距离函数的渐近展开式, 及关于一个方程解的渐近公式. 对由 p-阶特征函数定义的一个黎曼度量, 我们证明了它的截面曲率在边界上是趋于-1的, 并证明凸区域关于此度量的有界几何性质. 对于凸区域上由特征函数定义的黎曼度量, 我们得到了其标量曲率的低阶展开式, 并证明第二个系数可由边界曲面的 Fubini-Pick不变量来描述. 本项目也研究了其他的问题, 并取得了一些进展.