Monge-Ampère 型方程的研究及其几何应用

Second order non-linear elliptic partial differential equations are important types of equations in partial differential equations. Non-linear(fully non-linear) elliptic partial differential equations are hot topics in elliptic partial differential equations. There are fruitful results and important progress in the field of fully nonlinear elliptic equations. These projects usually are closely related to geometric problems、physic phenomenon, such as Weyl problem in isometric embedding, Chern conjecture in affine geometry and Calabi conjecture in complex manifolds. This project intends to study the Monge-Ampère type equations arising from isometric embedding in geometry、 image processing including the existence、 regularity、stability of the solutions, which come from isometric embedding of Alexandrov-Nirenberg surface, existence of positive disks and error estimates of Monge-Ampère equations.

二阶椭圆偏微分方程是偏微分方程中非常重要的一个类型。 非线性（完全非线性）椭圆偏微分方程是椭圆型方程研究的热点，理论上已有丰富的成果和重要的进展。非线性椭圆偏微分方程往往和一些具体的几何问题、物理现象等有着密切的联系，例如等距嵌入中的 Weyl 问题、仿射几何中的Chern 猜测以及复几何中的 Calabi 猜想等。本项目拟研究源自于几何中的等距嵌入、图像处理过程中的 Monge-Ampère 型方程的存在性、正则性、稳定性等问题，包括 Alexandrov-Nirenberg 曲面的等距嵌入、正圆盘的存在性以及 Monge-Ampère 方程数值解的误差估计等问题。

二阶椭圆偏微分方程是偏微分方程中非常重要的一个类型。非线性（完全非线性）椭圆偏微分方程已经成为椭圆型方程研究的热点，在理论上已有丰富的成果和重要的进展。非线性椭圆偏微分方程往往和一些具体的几何问题、物理现象等有着密切的联系，例如等距嵌入中的 Weyl 问题、仿射几何中的 Chern 猜测以及复几何中的 Calabi 猜想等。. 本项目围绕在Monge-Ampere型方程及其应用方面, 在相关的非线性椭圆方程的研究方面取得了一系列的成果,主要包括.1. 完成了申请书中申请人提出的研究目标-对 Oliker-Prussner 提出传统几何办法的数值解给出收敛速率的估计. 相关结果发表在 2019 SIAM J. Num 杂志上..2. 在Monge-Ampere方程的其他研究方面也取得进展: 蜕化Monge-Ampere方程非平凡解的唯一性, 独立发表在 CVPDE 上; 非凸仿射球的存在性和最佳图像正则性, 合作发表在 JDE 上; Monge-Ampere 方程Guillemin边界条件的解的存在性, 独立发表在 Advance in Math.; Warped product空间上的Weyl问题的开性, 项目参与人李春和及合作者发表在JDG上..3. 在非线性椭圆方程的其他方面也取得了一些成果: dually gauged harmonic maps 的解的存在唯一性, 合作发表在JMP上; 指导博士牛亚婷独立在一类非各向同性的积分方程的解的存在性和非存在性开展研究, 发表在JDE上; 多面体型区域上蜕化线性椭圆方程的解的Holder正则性的研究, 合作发表在复旦数学年刊上.