矩阵束理论在高维时滞微分系统稳定性研究中的应用

By the development of science and technology, all kinds of more complicated delay-differential systems appeared. The cross among different subjects or inner-cross in mathematics has played more important roles in studying delay-differential systems. The cross between differential equations and algebras is an inner-cross subject. In this paper, matrix pencil will be used to research stability of delay-differential systems. Besides theory of matrix pencil, the algebraic methods also conclude general eigenvalues, spectrum, Kronecker product, linear operations and so on. By those algebraic methods, the behavior property, such as stability and bifurcation of high dimensional and complicated delay-differential systems will be discussed. The characteristic equation will be simplified to algebraic equation and distribution of eigenvalues will be derived. Meantime, some new algebraic criteria on stability will be given. Because of the abstractness on algebraic theory, some high dimensional delay-differential systems derived from different practical background can be simultaneously studied as same algebraic problem. So the results will be more important and interesting.

随着科技的发展，各种时滞微分系统模型不断涌现，形式也越来越复杂。微分方程理论与其它不同学科之间的交叉，以及与数学内部学科之间的交叉都显得越来越重要。代数在微分方程稳定性理论中的应用就是数学学科内部的一种交叉形式。本课题即将借助代数中的矩阵束理论来研究高维时滞微分系统的稳定性和分支现象。其中涉及到的代数方法除了矩阵束理论外，还会涉及到相关的谱理论、广义特征值理论、Kronecker积理论、线性算子理论等。本课题将利用这些方法，针对一些高维、复杂的时滞微分系统的平衡点、稳定性、Hopf分支等动力学特性进行研究，将系统对应的超越形式的特征方程转化为普通的代数方程，从而找到特征值的分布情形，并给出有关稳定性问题的一些代数判据。这样的研究方法创新性就在于利用代数学高度概括性的特点，可以讨论不同背景下具有相似结构的一些时滞微分系统的稳定性问题，其结论更具有一般性，应用更广泛。

随着数学模型在应用学科的发展，各种时滞微分系统模型不断涌现，形式也越来越复杂。相对传统的研究手段已经逐渐不能满足解决各种问题的需求，许多学者开始寻找新的、不同的研究工具来解决结构形式越来越复杂的微分系统模型。因此微分方程理论与不同学科之间的交叉，以及与数学内部学科之间的交叉都显得越来越重要。. 代数和微分方程的结合就是数学学科内部的一种交叉形式。代数高度的概括性和抽象性的特点为高维、复杂的微分方程稳定性理论的研究提供了更好的研究思路。本课题就借助代数方法研究了高维时滞微分系统的稳定性和分支现象。其中的代数方法主要为矩阵束理论，以及相关的谱理论、广义特征值理论、Kronecker积理论、线性算子理论等。利用这些方法，针对一些高维、复杂的时滞微分系统的平衡点、稳定性、Hopf分支等动力学特性进行研究，将系统对应的超越形式的特征方程转化为普通的代数方程，从而找到特征值的分布情形，并给出有关稳定性问题的一些代数判据。. 这样的研究方法创新性就在于利用代数学高度概括性的特点，可以讨论不同背景下具有相似结构的一些时滞微分系统的稳定性问题，其结论更具有一般性，应用更广泛。