慢变激励下的混合模式振动的动力学机制研究

The problem of mixed-mode oscillations in nonlinear systems with multiple time scales is one of the leading subjects and hot interests in nonlinear science. The current study primarily focuses on autonomous systems with two time scales and one and only slow process, while there is little research on systems with slowly changing excitations, the representatives of non-autonomous systems with two slow processes and three time scales. In the proposed project, we center around the generation of mixed-mode oscillations in systems with multiple time scales resulting from the effects of slowly changing excitations. The main contents of this project are given as followings: (1) We discuss the possible mixed-mode oscillations and their formation mechanisms in systems with a slowly changing parametric excitation, when the slowly changing parametric excitation passes through the bifurcation points periodically; (2) We analyze the behavior of mixed-mode oscillations, especially the complex mixed-mode oscillations, in systems with two slowly changing external forcings, for the cases when the frequencies of the two slowly changing external forcings are small quantity with same or different order; (3) We reveal the dynamical mechanisms of mixed-mode oscillations in systems with parametric and external excitations for the cases when the two frequencies of the slowly changing parametric and external excitations are small quantity with same or different order. We will analyze the effect of slowly changing excitations on mixed-mode oscillations in detail, and determine the part played by slowly changing excitations in the generation of mixed-mode oscillations. This project will contribute to the development of the general theory of multiple time scales.

多时间尺度非线性系统的混合模式振动问题是非线性科学的前沿和热点问题之一。目前的研究主要针对仅含一个慢过程的两时间尺度自治系统，而对于以慢变激励系统为代表的含两个慢过程和三个时间尺度的非自治系统的研究较少。本项目紧密围绕由于各种慢变周期激励的存在而使系统产生的多时间尺度混合模式振动问题，主要内容包括：（1）探讨慢变参数激励周期地穿越分岔点时，慢变参数激励系统可能存在的混合模式振动及其产生机制；（2）分析两个慢变外激励的频率分别是同阶和非同阶小量时，双慢变外激励系统中的混合模式振动(特别是复杂的混合模式振动)的产生机制；（3）揭示慢变参、外激励的两个频率分别是同阶和非同阶小量时，慢变参-外联合激励系统中的混合模式振动的动力学机理。深入分析慢变激励的变化对混合模式振动的影响，揭示各种慢变激励在混合模式振动的产生过程中所起的作用。本项目将为多时间尺度一般性理论的发展提供一定的理论服务。

多时间尺度问题具有极其广泛的工程背景，涉及到科学和工程技术的各个领域。本项目紧密围绕由于各种慢变周期激励的存在而使系统产生的多时间尺度复杂动力学行为问题，着重探讨了其中的混合模式振动的动力学机制及其分类。本项目的主要研究内容和重要结果如下：.（1）慢变参数激励下的混合模式振动问题。提出了将慢变参数激励视为慢变量的思想，于是慢变参数激励系统即为一类典型的快慢系统。因此，采用经典的快慢分析方法可以揭示慢变参数激励下的混合模式振动的动力学机制。基于此，揭示了可以诱发混合模式振动的三种新的分岔模式，并从理论上对与这三种分岔模式相关的所有可能的混合模式振动进行了详细的分类。.（2）慢变参-外激励联合作用下的混合模式振动问题。提出了研究慢变参-外激励联合作用下的混合模式振动的理论方法：即引入新的慢变量，将慢变参-外激励系统转化为只含一个慢变量的快慢系统；然后，通过对转化后的快慢系统的分析，即可揭示原慢变参-外激励联合作用下的混合模式振动的动力学机制。基于所提出的研究方法，揭示了慢变参-外激励下的混合模式振动的动力学机制，探讨了参-外激励的振幅和频率对混合模式振动动力学行为的影响机制。.（3）两个慢变外激励下的混合模式振动问题。在（2）的基础上，分别考虑双慢变外激励系统含有和不含有滞后现象的两种情形，总结了与之相关的研究两个慢变外激励下的混合模式振动的理论方法，并将该方法应用于具体的非线性模型，从而揭示了两个慢变外激励下的混合模式振动的动力学机制。.慢变激励问题在力学、物理、机械工程等领域内广泛存在。本项目的研究对于深入分析慢变激励下的多时间尺度动力学特性，揭示其中的复杂性机制，特别是混合模式振动的动力学机制，对于探讨各种故障和事故的产生原因，研究相应的控制策略，进而解决实际问题具有一定的指导意义。