充分降维理论中基于分布加权思想的压缩估计

在充分降维领域中，高维自变量是经常需要面对的情形。在此背景下，两个问题的解决具有重要的意义：其一，当自变量间存在高度共线性时，如何解决自变量样本协方差阵奇异给降维中心空间的估计带来的困难；其二，不依赖于具体参数模型假设怎样进行变量选择。压缩估计对于解决上述问题有着特殊的价值。考虑到最近提出的分布加权降维方法的特点和优势，本项目拟基于分布加权思想，使用压缩估计方法，解决自变量共线性时中心空间的估计问题，及变量选择问题，具体而言，研究内容包括：处理共线性问题，获得降维中心空间的估计，并研究所获估计的性质；提出有效的变量选择方法；对降维中心空间的估计进行影响分析；研究自变量对因变量的影响显著性检验问题。这其中，利用分布加权方法的特点，提出有效的变量选择方法是本项目研究的核心内容。上述问题的解决，将在一定程度上丰富和扩充现有的降维方向估计和变量选择理论。

本项目针对待选协变量向量维数过高的问题（待选协变量个数多至发散），在混合效应模型中， 提出了一个基于模型变换和平滑削边绝对偏离惩罚的压缩估计，以估计固定效应，并证明了该压缩估计的相合性。同时，将该压缩估计用于固定效应降维，并证明了该变量选择方法的神谕（Oracle）性质。此外，在待选协变量个数发散的混合效应模型中，构造了两个零假设下渐近分布分别为卡方分布和正态分布的检验统计量，均用于多个随机效应向量显著性的联合检验。其中一个用于待检随机效应向量维数均有界的情形，另一个用于至少一个待检随机效应向量维数发散的情形。上述方法和结论均不依赖于对随机效应和误差分布类型的具体假设。相关方法和性质均通过数据模拟例证的方式进行了验证。作为拓展，本项目还开展了逐步局部影响分析方法在自回归协整滑动平均模型下的应用研究和混合回归空间自回归模型下拟最大似然估计的存在唯一性研究。