复几何中的偏微分方程及相关抛物流

Many significant problems in complex geometry can be solved through the study of existence and uniqueness of solution to corresponding geometric partial differential equations. This project focuses mainly on a class of fully nonlinear elliptic equations on Hermitian manifolds and related parabolic flows. We shall study a priori estimates, long time solution and convergence of parabolic flow, and then treat the solvability of elliptic equations. On the other hand, a single elliptic equation can lead to various parabolic flows. These flows show different geometric properties (e.g. curvature and functional) and have different applications, especially on closed Kahler manifolds. We shall investigate different parabolic flows, in order to study properties of Hermitian manifolds (including Kahler manifolds).

复几何中的许多重要问题可以通过对相应几何偏微分方程解的存在性和唯一性的研究而得以解决。本项目主要考虑复Hermitian流形上的一类完全非线性椭圆型方程及其相对应的抛物流。我们将研究抛物流的先验估计、长时间解和收敛性，并借此解决椭圆型方程的可解性。而另一方面，同一个椭圆方程可以对应多种不同的抛物流。这些抛物流显现出不同的几何性质（比如曲率和泛函）并且有着不同的应用，尤其是在闭Kahler流形上。我们将考查不同的抛物流，来研究Hermitian流形（包括Kahler流形）的性质。

在复几何的研究中，许多的研究对象都涉及到了完全非线性椭圆型偏微分方程。例如著名的Calabi猜想，Kahler-Einstein度量的存在性以及复流形上各种极值度量。这些问题不仅关系到数学研究的进展，也与理论物理学有着密切的联系。研究这类方程的一个方法就是直接研究椭圆型偏微分方程的可容许解，不过在闭流形上较为困难；另一个经典方法就是构造合适的抛物流方程，证明抛物流方程解会收敛于相应椭圆方程的可容许解，从而可以通过抛物流的性质来推测可容许解的性质。..在本项目中，我们主要研究了一类形式比较基础的几何方程。对于这类方程，构造了几类不同的抛物流方程来研究不同的性质。我们主要通过辅助函数和闸函数的方法推导了方程解的先验估计并进而证明方程解的存在性。我们成功证明了闭Kahler流形上的复商方程可容许解的先验估计和存在性，并研究了不同的抛物流方程。在Kahler流形的基础上，我们进一步把部分结果推广到更为一般的Hermitian流形上。这些研究成果整理成多篇论文，部分已被接受发表于《Communications on Pure and Applied Mathematics》《The Journal of Geometric Analysis》《Communications on Pure and Applied Analysis》等杂志。