有限单群的若干刻画

The characterization of finite simple groups is one of the communication bridge between the structure of simple groups and its classification theorem and so it is an important topic on sdudy of Group Theory.. This project，starting from the quantitative properties and graph properties of groups，will consider the following three interrelated problems：using prime graph to characterize simple groups、weakening the conditions of “two orders” and the problem of OD-characterization，and establish the connection between characterization by prime graph and OD-characterization.This research can reveal the nature and structure of simple groups and provide the algorithmic basis for computer identification of abstract groups at the same time.

有限单群的刻画是沟通单群结构和有限单群分类定理的桥梁之一，因此是群论研究的重要课题。. 本项目从群的数量性质和图论性质出发考虑以下三个互相关联的问题: 用素图刻画单群、“两个阶”条件的弱化和OD-刻画问题。关于OD-刻画问题，本项目旨在建立其与素图刻画的联系。本课题的研究可以揭示单群的性质和结构，同时能够为计算机识别抽象群提供算法依据。

主要研究内容可以概括为以下几方面：1. 单群的素图刻画问题. 2. 利用Sylow数的集合或素数阶元中心化子阶的集合刻画单群. 3. 利用群阶和元素的最高阶刻画单群. 4. 一些可解群方面的研究。.具体做了以下工作：1. 考虑了A2(4)、2E6(2)和2A5(2)的素图刻画问题. 2. 利用有限单群素图的连接准则对所有满足5∈π(G)且dG(5)=1的完全素图群进行了分类. 3. 证明了单K3-群可由素数阶元中心化子阶的集合所决定. 4. 如果|G|=p2qr，sn(G)={r, pr, pq}，那么G同构于A5，其中sn(G)表示G的Sylow数的集合，p<q<r为不同素数，类似结论对所有的单K3-群都成立. 5. 分类了同阶子群个数的集合为{1, m}的幂零群. 6. 利用群阶和元素的最高阶刻画了L2(q). 7. 分类了恰有6个非正规子群的有限群，为恰有2p个非正规子群的有限群的研究开拓了思路. 8. 利用非正规子群的共轭类数给出了判断一个非幂零群是否为NN-群的一个充分条件，并且这个非正规子群的共轭类数的界是最佳的. 9. 证明了NG(H)=HCG(H)和NG(H)=CG(H)对于交换剩余甚至是对一般的群系剩余来说都是一样的. 10. 研究了有限群G的所有次正规子群的导群的正规化子的交和所有非次正规子群的导群的正规化子的交，推广了norm。