外在干扰下弹性振动网络系统的镇定研究

We are concerned with the stabilization of network of elastic system with general external disturbance in this project. There are two characteristics for the systems studied. First, the external bounded disturbance is general whose model is unknown completely. Second, all systems considered are network ones which are from two or more independent vibrating structures. Known results are related to either independent vibrating system with general external disturbance or determine coupled vibrating system with no disturbance. With the growth of human knowledge, the accuracy needs higher and higher. Introducing factors ignored before, we get undetermined coupled vibrating system. In general, the original controller is not valid for this kind system. So primary mission of this project is to design new state feedback or output feedback controller to stabilize such system based on sliding mode control and active disturbance reject control. Backstepping and Lyapunov function methods are also needed in investigation. Semi-group theory is used to prove well-posedness and stability of closed-loop system. The theoretical results will be validated by numerical simulations. We hope methods we introduced in this project can help researchers solve other type coupled PDE systems.

本项目研究含有一般外部干扰的弹性振动网络系统的镇定问题。这类系统具有两个特点：一是系统的外部有界干扰是一般的，并没有自己的模型。二是系统是网络系统，原本两个或多个独立振动结构的耦合。已有结果或是受一般有界外部干扰影响的独立振动系统，或是不含干扰的确定耦合振动系统。随着人类认知的增加，对事物认识的精度要求越来越高。原来被忽略掉的因素需要重新考虑进来，从而就使得不确定的耦合振动系统成为一种研究对象。一般情况下，原本设计的控制器不再有效。本项目的中心任务就是基于滑模控制和自抗扰控制重新分别设计状态反馈控制器和输出反馈控制器镇定此类系统。Backstepping方法、Lyapunov函数方法等在控制器设计过程中是必不可少的，算子半群理论用来证明闭环系统的适定性与稳定性。在研究过程中大量的数值仿真实验辅助我们的理论结果。此类问题的研究方法希望可以为解决其它类型PDE耦合系统的研究提供一些新的思路。

本项目基于工程中的弹性振动问题进行研究。在有外部扰动的情况下，设计出边界状态/输出反馈控制器，达到镇定的目标。对于两个并联连接的弦方程，在有一般边界外部扰动的情况下，我们设计了边界输出反馈控制器，达到镇定的目的。对于内部含有非局部项的一维波方程，我们利用backstepping方法设计了边界状态反馈控制器，达到指数镇定的目标。此模型可描述某点带有麦克量测的电吉他弦的振动现象，具有工程实际意义。同时，对于含有外部扰动的热方程、Euler-Bernoulli梁方程、波方程，我们设计了边界输出反馈控制器，达到跟踪的目标。我们所研究的分布参数系统，在各种电子学、机械力学、工程化学、医学等学科中都有着广泛的模型应用。所得的一般理论结果期望对于将来应用于工程实际。