一类两相流的适定性问题研究

In this project, we will investigate the nonlinear differential equations arisen from diffuse interface models for two-phase flows. Compared to the classical models, the diffuse interface models considered in this project can give a more natural description to the topological transitions of the interface, especially for the cases when the interface occurs singularities. The considered equations include coupled Navier-Stokes/Cahn-Hilliard and Navier-Stokes/Allen-Cahn equations. We are interested in various properties of the solutions, such as the well-posedness, blow-up criteria, asymptotic properties, the asymptotic limit when the interfacial thickness tends to zero and free boundary value problems. The problems considered in this project, which appear in recent years and have obvious physical background, are brand-new. The investigation will not only enrich and develop the mathematical theory of partial differential equations, but also provide important references for practical problems.

在本项目中，我们研究具扩散界面两相流中的非线性偏微分方程组的若干问题。 与经典的两相流模型相比较，本项目所要考虑的具扩散界面的两相流模型可以更自然地描述两相流中分界面的拓扑性质，尤其是对分界面出现奇性时的数学刻画。本项目主要考虑的方程组包括Navier-Stokes/Cahn-Hilliard 耦合方程组和Navier-Stokes/Allen-Cahn 耦合方程组。拟考虑的问题包括：解的适定性、爆破准则、解的渐近性质以及扩散界面厚度趋于零时的渐近极限、自由边界问题等。本项目拟研究的问题是近年来出现的具有鲜明物理背景的新问题。本项目的研究既能丰富和发展偏微分方程的数学理论，又能为实际问题的研究提供重要的理论参考。

本项目主要研究具扩散界面的两项流模型、Ericksen–Leslie系统等复杂流体模型、可压缩Navier-Stokes方程以及一类非线性扩散方程的适定性问题。对于具扩散界面的两项流模型，我们分别研究了不可压缩情形和可压缩两种情形。对于不可压缩情形分别研究了模型的变分逼近，弱解和强解的存在性，高维情形下解的爆破准则，以及解的极大紧吸引子等性质。对于可压缩情形，就一类特殊形式的自由能证明了一维整体经典解、强解的存在唯一性，以及弱解的存在性，也得到了解的弱强唯一性。研究了一维可压缩Navier-Stokes/Allen-Cahn方程组的自由边界问题，证明了整体解的存在唯一性。对于复杂流体模型，我们研究了Ericksen–Leslie系统弱解的正则性，具有限个奇性时间的整体弱解的存在性。考虑了一类Navier-Stokes方程和抛物型Q-tensor的耦合系统高维弱解的整体存在性，解对初值的连续依赖性，解的弱强唯一性等、自由边界问题、爆破准则、解的生命跨度等问题。对于可压缩Navier-Stokes方程，我们研究了Cauchy问题接触间断波的长时间渐近行为，还研究了一类具梯度型位势和源的高阶粘性扩散方程的初边值问题整体经典解的存在性和唯一性、解的有限时刻爆破等性质。此外，我们还证明了一类具弱非线性周期源的伪抛物方程的非负非平凡周期解的存在性，并讨论了当粘性系数趋于零的时解的渐近性态。 本项目研究的问题是近年来出现的具有鲜明物理背景的新问题，本项目的研究结果既丰富和发展了偏微分方程的数学理论,又为实际问题的研究提供重要的理论参考。