一类随机守恒律系统适定性及相关问题的研究

The theory of the Cauchy problem for hyperbolic system of conservation laws confronted two major challenges. First, classical solutions, staring out from smooth initial values, spontaneously develop discontinuities, hence, in general, only weak solutions may exist in the large. Next, weak solutions to the Cauchy problem fail to be unique, thus the uniqueness becomes a core problem for domestic and international scholars, when studying the global existence. However, it is still a matter of urgent open problem for the uniqueness of weak solutions to general hyperbolic system of conservation laws. Therefore it is significant to study the well-posedness of hyperbolic system of conservation laws. Different from classical methods, the object for the project is to revise the conservation laws by proper noises and try to solve the problem of weak solutions for the uniqueness by stochastic entropy. We expect that the weak solutions to the analogues of stochastic Keyfitz-Kranzer system for irregular vector fields, should be unique. This achievement may lay the foundation for the study on stochastic hyperbolic system of conservation laws. Moreover, it will broadened out and extend theory research on stochastic analysis and fluid mechanics, promoting development of nonlinear stochastic dynamic, continuum physics and related discipilines.

关于双曲守恒律系统Cauchy问题的研究一直都存在两大困难：初值光滑的经典解在有限时间产生不连续, 弱解非唯一。为了得到解的整体存在性，弱解的研究显得尤为重要，因此唯一性成了国内外学者关注的焦点。尽管如此，对一般的守恒律系统，弱解的唯一性仍是一个亟待解决的公开问题。所以对于多维守恒律系统适定性的研究，是一件十分有意义的事情。不同于经典方法，本项目旨在通过对守恒律系统加一合理噪声修正，借助于随机熵，尝试解决一类非严格双曲系统弱解的唯一性问题。我们预期对类似于随机Keyfitz-Kranzer系统的多维系统，非正则向量下，弱解都是唯一的。本项目的预期成果必定会给随机守恒律系统的研究奠定理论基础。同时拓宽和延伸随机分析和流体力学理论的研究，并促进非线性随机动力学、连续物理学等相关学科的发展。

(1)随机守恒律是随机偏微分方程研究的一个极具挑战的课题，它是联系流体力学、随机分析和实际应用问题的一个重要方面。本项目：(1) 研究了非局部守恒律方程，建立了非局部守恒律方程弱解的微观描述； (2) 研究了随机非局部守恒律方程，得到了动理学解的存在唯一性； (3) 讨论了一类非线性随机输运方程，建立了在随机扰动下方程弱解的唯一性，成功回答了该项目拟解决的守恒律方程非适定性问题； (4) 研究了随机输运方程，证明了随机扰动可以阻碍激波的产生，成功的解决了该项目拟解决的守恒律方程弱解的整体存在性问题； (5) 研究了随机输运扩散方程，得到了解的Schauder估计；(6) 研究了随机抛物方程，建立了解的BMO 和 Morrey-Campanato 估计；(7) 研究了两类随机微分方程，分别证明了强解和弱解的存在唯一性；(8) 研究了热方程，证明了在非正则向量场下解的正则性，并成功将此结果用于建立随机微分方程随机流的存在唯一性； (9) 研究了一类确定的Hamiltonian系统和非线性Schrodinger方程，证明了解的存在性。