特征值问题的有限元高效计算方法

电子结构、电磁场和流体对流扩散中的特征值问题的有限元高效计算方法是目前数学物理界关注的热点课题。本项目主要研究内容为：(1) 研究电子结构中特征值问题的有限元法，把基于移位反幂法的2-网格离散与局部亏量校正相结合建立局部并行算法并用于薛丁格方程，和现有文献中方法相比较，本项目要建立效率更高的基于区域分解的局部并行方案;(2) 研究电磁场特征值问题的有限元法高性能计算方法，电磁场特征值的混合变分公式中Lagrange乘子变量的光滑性较低，其高效率计算方法研究难度大，是具有挑战性的新工作;(3) 研究对流扩散中特征值问题有限元自适应算法和基于区域分解的有限元分裂外推算法, 由于重特征值很复杂，现有文献研究是在简单特征值这个假设下进行的, 本项目将去掉这个假设。这些研究是前沿性的，具有重要学术价值和实际意义。

特征值问题的有限元高效计算方法是目前数学物理界关注的热点课题。本项目对该课题作了较系统深入的研究, 主要研究成果为:(1)提出了一种新的基于移位反迭代的局部并行三尺度和多尺度离散,并成功地应用到电子结构特征值问题, 电磁场特征值问题, Stokes特征值问题和非对称椭圆特征值问题。 (2)建立了一种新的特征值问题移位反迭代型多尺度自适应算法,并成功地应用到电子结构特征值问题, 电磁场特征值问题,Stokes特征值问题和积分算子特征值问题;研究非对称椭圆特征值问题的有限元后验误差估计和自适应算法(解原特征值型),首次讨论了重数大于1的半简单特征值的后验误差估计。 (3)研究了重特征值有限元外推,包括Laplace特征值问题非协调元外推和非对称特征值问题基于区域分裂的协调元外推。(4)研究了Stokes特征值问题和电场特征值问题混合有限元2-尺度离散方案和多尺度离散方案。(5) 首次把谱元法用于非对称特征值问题和氢原子电子特征值问题。 (6)证明了在自适应网格上Crouzeix-Raviart元特征值及Morley元特征值的下界性质;研究了Stokes特征值问题混合元的上界性质;把扩充有限元和反迭代相结合给出了求解对流扩散问题的多水平校正方案。目前,本项目已正式出版专著1本 (北京: 科学出版社, 2012年),发表论文24篇(SCI收录17篇, EI\ISTP\中文核心论文6篇), 其中: 2篇发表在SIAM J. Sci. Comput.上,1篇发表在Comput. Methods Appl. Mech. Eng.上。这些研究成果是新的、前沿性的，具有重要学术价值和实际意义。