非线性特征值问题的计算方法

We aim to develop highly efficient and practical nonlinear iterative methods, mesh based adaptive methods as well as scalable computational methods of the discretized problems, study their corresponding mathematical theory and probe how to carry out highly efficient numerical simulation on computers with more than ten thousand CPU cores, for solving eigenvalue problems associated with nonlinear partial differential operators arising from simulating the microstructure of matter. In particular, we shall investigate multi-level coupled discretizations for Kohn-Sham equation, quasi-Newton-type self-consistent field iterations, real space preconditioners for algebraic eigenvalue problems, and the implementation and application of a multi-level parallel software package.

我们拟针对模拟物质微观结构的非线性偏微分算子特征值问题，发展高效实用的非线性迭代方法、网格自适应方法和离散问题的可扩展计算方法，研究相关的数学理论，探索如何实现逾万处理器核上的高效数值模拟. 特别是,研究Kohn-Sham方程多层耦合离散、拟Newton类自洽场迭代、代数特征值问题的实空间预处理以及分层并行程序实现与应用.

如何利用高性能计算机又快又好地计算大规模的原子分子体系，依然是极具挑战的重要的交叉性前沿课题。第一原理电子结构计算中典型的数学模型包括Hartree-Fock方程和Kohn-Sham方程在内的非线性特征值问题及其相应的带正交约束的能量极小问题。第一原理电子结构计算的关键是设计、分析与实现这些数学模型的高效的适应超级计算的计算方法。.本项目针对模拟物质微观结构的有关非线性偏微分算子特征值问题计算，发展了网格自适应离散方法、非线性迭代求解方法和离散问题的可扩展计算方法，研究了相关的数学理论，探索了如何实现其在逾万处理器核上的高效数值模拟。 特别是,研究了Kohn-Sham方程自适应有限元离散、并行轨道更新算法、带正交约束的优化算法以及分层并行程序实现与应用, 探索了离散Kohn-Sham方程的自洽场迭代的收敛性以及几类代数特征值问题的快速求解，取得了满意的进展,引起了国际同行的关注并产生了欧美几项后续性工作，为理解与应用有关创新的第一原理计算方法提供了数学依据。