传输特征值问题有限元方法

The transmission eigenvalues not only have wide physical applications, for example, they can be used to obtain the estimates for the material properties of the scattering object, but also have theoretical importance in the uniqueness and reconstruction in inverse scattering theory. Therefore, in recent years, the numerical methods for the transmission eigenvalue problems have become a new hot topic in the field of engineering and scientific computing. This project aims to study the finite element methods for the transmission eigenvalue problems. At present, the research results for the problems are not mature yet and the associated theoretical results are very scarce. For the Helmholtz transmission eigenvalue problem, we plan to explore new variational forms and the corresponding conforming finite element discretizations and nonconforming ones such as Morley element and Adini element. All of these discretizations are expected to have good structures in algebra and be easy to realize under the existing finite element software packages; we intend to prove the a priori error estimates for the discrete eigenvalues theoretically and the reliability and effectiveness for the a posteriori error estimator, and build some highly efficient approaches such as the adaptive algorithm with local refinement. For Maxwell transmission eigenvalue problem, we aim to study its nodal finite element and edge element discretizations and the corresponding a priori and a posteriori error estimates, and further propose some highly efficient algorithms such as the finite element adaptive algorithm and the two grid discretization.

传输特征值不仅有广泛的物理背景，例如，使用它们可以估计出散射对象材料的性质，而且在逆散射理论的唯一性和重构方面也有重要理论意义。 因此它的数值方法近几年成为科学和工程计算领域一个新的研究热点。本项目研究传输特征值问题的有限元方法，目前这方面的研究尚不成熟，理论成果十分稀少。对Helmholtz传输问题，拟探索新的变分公式及其协调有限元离散格式和Morley元、Adini元等非协调有限元离散格式，这些格式要具有良好的结构且易于在现有的有限元软件包下运行; 拟从理论上证明离散特征值的先验误差估计，证明后验误差指示子的可靠和有效性，并建立局部加密自适应算法等高效计算方法。对Maxwell传输特征值问题，研究基于混合变分形式的节点有限元和边元离散格式及离散特征值的先验误差估计和后验误差估计，研究有限元自适应算法以及二网格离散等高效算法。

传输特征值不仅有广泛的物理背景，例如，使用它们可以估计出散射对象材料的性质，而且在逆散射理论的唯一性和重构方面也有重要理论意义。 因此它的数值方法成为科学和工程计算领域近十年来的一个研究热点。本项目研究了传输特征值问题的有限元方法，主要工作如下。(1)对Helmholtz传输特征值问题，建立了H2协调有限元法和H2协调谱元法，给出了完整的先验误差分析。对H2协调有限元法还导出了后验误差并建立了自适应算法，二网格和多网格方法。对弹性波传输特征值问题，建立了H2协调有限元法和H2协调谱元法及其二网格离散，证明了这些方法的收敛性和误差估计。(2)首次把非协调元用于Helmholtz传输特征值问题，建立了新的线性变分公式，使用modified-Zienkiewicz元和Morley-Zienkiewicz元等C0类非协调元建立了离散变分公式，推导了先验误差估计和和后验误差估计，并建立了自适应算法和二网格方法。用非协调元成功地求解了三维区域上的Helmholtz传输特征值问题，解决了该问题的“三维烦恼”。(3)对Helmholtz传输特征值问题和弹性波传输特征值问题，导出了新的混合变分公式，建立了混合有限元法和混合谱元法，并给出了完整的先验误差分析。(4)对Helmholtz传输特征值问题，建立了一个新的C0IPG方法，给出了完整的先验误差分析和后验误差分析，并建立了自适应算法。目前,本项目的上述研究成果已在SIAM J. Sci. Comput.和Comput. Methods Appl. Mech. Eng.等SCI期刊上正式发表论文8篇,已录用待发表2篇。这些研究成果是新的、前沿性的，具有重要学术价值和实际意义。此外还研究了与该课题相关的重调和特征值的C0IPG方法和自适应方法、二阶椭圆和Stokes算子特征值问题的下界，发表SCI论文三篇。