间断Galerkin方法在透射特征值问题中的分析、计算和应用

Recently the transmission eigenvalues have attracted more and more attention in scattering and inverse scattering communities, because they can be used to estimate the material properties of the scattering objects，and are essential in the theoretical study of the uniqueness in inverse scattering theory. Although transmission eigenvalues problem is simply stated, it is neither elliptic nor self-adjoint, and it is not covered by any standard theory of partial differential equations. Therefore the proposed research on the transmission eigenvalues problem is necessary and is meaningful in both theory and application. We will apply discontinuous Galerkin method in the analysis, computation and application of the following transmission eigenvalues problems: the biharmonic eigenvalue problem, the transmission eigenvalue problem for Helmholtz equation (2D), the transmission eigenvalue problem for Maxwell''s equations (3D), and transmission eigenvalues in the inverse scattering problem. We will design an algorithm guaranteeing the spectral correctness and the numerical convergence; we will also develop corresponding parallel programs and provide the software package.

透射特征值问题在电磁场散射和反散射问题中扮演着非常重要的角色。散射场可以用来确定可穿透物体的形状，是各向异性材料里反问题唯一性的一个重要工具。虽然该问题的提法很简洁，但它既非椭圆又非自伴，不涵盖在经典偏微分方程的理论中，因此对它的研究在理论上、应用上都很有意义。申请者将研究间断Galerkin方法（DG）在透射特征值问题中的分析、计算和应用，主要集中在双调和方程特征值问题、Helmholtz方程（2D）和Maxwell方程组（3D）透射特征值问题以及相关的反问题上。申请者会给出适当的格式，证明算法的谱正确性和收敛性，开发并完成并行程序软件包。

我们主要研究透射特征值问题的数值算法及相关理论和应用。该问题来源于反散射问题，不仅是研究远场算子的工具，还可以用来设计反散射技巧及探测散射体内的空洞。数值计算的主要难点在于非自伴和非线性。. 我们首先采用混合元方法，对得到的离散系统设计了迭代法高效求解。我们还考虑了各向异性材料的透射特征值问题，设计了一种多重网格方法，把粗网格的解作为细网格的初始值，加速收敛。我们把多重校正方法推广到透射特征值问题，细网格上的特征值问题等价成粗网格的特征值问题与一系列网格上的解问题，在减小计算量的基础上，得到与细网格直接求解相当的精度。我们把透射特征值问题原始的四阶非自伴形式改写成迭代的四阶自伴问题进行求解, 采用C^0 IPG作为数值方法,这是一种适用于四阶问题的间断有限元方法，我们给出了源问题的适定性，特征值问题的谱正确性以及最优收敛，数值结果验证了理论的正确性。. 透射特征值问题本身的形式也给我们启示：是否能找到入射波，不会感知散射体的存在，使得散射场几乎为零。这种波有一定的应用背景，比如医学里面的无影灯。我们在透射特征值问题的基础上，利用Helmholtz方程的性质，以及反问题的一些技巧，设计了无散射的入射波，形成一种特定情况下的隐形，还给出了相关的理论证明。