界面问题的直接间断Galerkin方法及其应用

The numerical solutions of interface problems have their widespread applications in fluid dynamics, solid mechanics, material science, and biological systems. It is very difficult to solve numerically these problems because their exact solutions are not smooth in the interface. It is very critical and a challenge to construct a method achieving a higher order accuracy. The DDG method is directly based on the weak formulation of the equation and needs to introduce a numerical flux that approximates the derivative of the solution with higher order accuracy. Thus the method has some advantages over other DG methods. In this project, we apply DDG method to solve some elliptic interface problems in bounded or unbounded domains: 1) use DDG method based on body-fitted meshes to solve the elliptic interface problems in bounded domains. The numerical flux incorporating the jump conditions of the exact solution in the interface are suitablely constructed. Optimal convergence results are obtained. 2) we propose DDG method based on non–bodyfitted meshes for elliptic interface problems, for each polynomial of degree k, introducing a correction function and adding it to the variational formulation, only modifying the right-hand side of the equation. This correction function needs to incorporate the jump conditions of the exact solution on the interface and at the same time maintain k+1 order accuracy of the DDG solution. 3) use DDG method and artificial boundary method to solve some elliptic interface problems in unbounded domains and nonlinear Poisson-Boltzmann equation.

界面问题广泛存在于流体力学，固体力学，材料科学，生物化学等领域的数值模拟中。解的整体光滑性差给这类问题的数值求解带来了很大的困难，设计高阶精度的算法格式非常关键且是一个挑战。直接间断Galerkin(DDG)法直接基于原问题的弱形式，其数值流量是解导数的高阶的逼近，使之在求解一些问题显示比其他的DG法具有更多优点。本项目主要采用直接间断Galerkin方法求解一些有界区域和无界区域上的界面问题：1) 研究有界区域上的椭圆界面问题，采用界面匹配网格，在界面上设计包含界面跳跃条件的数值流量，说明方法具有高阶精度；2）运用基于笛卡尔网格的DDG方法求解有界区域上的椭圆界面问题，该方法需要构建一个既满足界面跳跃条件，又要使方法保持高阶精度的修正函数，并将其添加到弱形式中，仅需修改方程的右端项；3）运用DDG法和人工边界法求解无界区域上的椭圆界面问题和非线性Poisson-Boltzmann方程。

广泛存在于流体力学，固体力学，材料科学，生物化学等领域的数值模拟中的微分方程界面问题，因方程系数穿过界面时是间断的或源项可能带有奇异性，使得问题解的整体光滑性很差，给这类问题的数值求解带来了很大的困难。设计高阶精度的算法格式非常关键也是挑战。本项目对椭圆界面问题开展了深入研究，取得系列成果：1) 研究椭圆界面问题的基于界面匹配网格的直接间断Galerkin方法，精心设计包含界面跳跃条件的数值流，讨论了曲线界面的数值处理，证明了方法具有高阶精度；2）将1)中提出的方法和自然边界元的耦合法推广用于求解无界区域界面问题。该耦合法基于耦合界面上的Dirichlet边值，不是Neumann边值，这使得间断Galerkin基函数不必在耦合界面上连续，保持了间断Galerkin方法的间断本性，同时理论上证明了带有界面曲边单元的最优高阶收敛误差；3) 研究了2)中耦合法所涉及的奇异积分的数值计算方法，证明了一些方法的收敛性、后验误差估计和超收敛性；4) 研究了基于神经网络的单元均值法求解抛物型方程初边值问题。采用高阶数值方法算出t1时刻的近似解，将初始条件和t1时刻的近似解分别作为神经网络的输入和输出，训练后获得最优的神经网络参数及神经网络对应的非线性函数，并把该函数作为由tn时刻的解求tn+1时刻的近似解。这种方法的收敛性不受CFL条件的限制且最优的神经网络函数可用于求解相同方程和边界条件不同初始条件的问题，并将推广用于求解界面问题；5) 对界面非匹配网格的直接间断Galerkin方法的研究做了一些尝试，说明该研究最初的想法有问题，可以试着用Cauchy扩张的方法求得修正函数，目前正在程序实现中。. 本项目针对有广泛实际应用背景的一类简单的界面问题，探索了一些高阶数值算法，给出了相关理论分析和大量的数值算例，为以后解决复杂的实际问题提供理论基础和重要的数值实现经验。