电磁场特征值问题的间断 Galerkin 算法研究

Eigenvalue problems in electromagnetism paly an important role in science and engineering. There is no package that can simulate this type of problems efficiently, the corresponding numerical anaylsis is also very limited. This project combines the theoretical anaylsis and numerical experiments to investigate the numerical algorithms in eigenvalue problems in electromagnetism, including construction, analysis, implementation and application. We shall first consturct a discontinuous Galerkin method for the eigenvalue problems in electromagnetism, and confirm its reliability and efficiency through the convergence analysis, error estimates and numerical experiments. Based on the discretization method, we shall focus on developing a parallel package for the computations of the eigenvalue problems in electromagnetism, which incorporates the discontinuous Galerkin method, the algebric eigensolver, and the advanced preconditioners. We shall achieve an efficient and robust parallel package in order to simulate the large-scale, complicated problems arise in science and engineering.

电磁场特征值问题的计算在科学和工程等许多领域中都具有十分重要的意义和作用，而目前还没有成熟的软件包能对这类问题进行有效的模拟，相应的数值分析也很不完善。本项目采用理论分析结合数值实验的方法，研究电磁场特征值问题的数值模拟，包括算法的设计、分析、实现和应用。我们要针对电磁场特征值问题设计一类间断 Galerkin 离散方法，并通过收敛性分析、误差估计以及数值实验来验证算法的可靠性和有效性。在算法设计和分析的基础上，我们要致力于开发电磁场特征值问题计算的并行软件包，通过在并行环境下集成间断 Galerkin 方法、特征值解法器以及先进的预条件子等，实现高效的并行计算程序，从而能对科学和工程中产生的大规模的、复杂的实际问题进行有效的模拟和计算。

PDE 特征值问题的数值分析和计算是一个十分重要的课题，在电磁理论、材料科学等许多方面都有很重要的应用。我们首先对电磁场特征值问题设计了间断 Galerkin 离散方法，合成在课题组高阶计算软件包 HOME 中，在收敛性和误差估计分析中发现并没有得到比传统方法更有效的结果。传统求解模式存在局限，它过多地依赖于网格的加密与细分、过多地依靠增大计算量来获取计算精度的提升、过多地把希望寄托于高性能计算机的研制和超大规模并行计算的性能突破。我们从一个新的角度探索计算PDE 特征值的高精度格式. 主要思想是, 从PDE 椭圆方程的一般协调有限元出发, 分析其格式给出特征值上界的内在性质, 直接推导出误差与该上界同阶的下界格式, 进而基于这一对上、下界格式构造一系列的高精度格式. 我们从PDE问题源头出发，应用区域分解思路，对于连续问题的区域进行离散时，力求保持结构化网格。从PDE 特性出发，依据特征值的性质设计高度频率并行的求解算法。等谱问题是特征值问题中一个非常有趣的问题, 对这一问题的分析有助我们构造特征值求解的预条件子.