测地流与曲面上弹球系统的动力学性态

In this project, we consider the dynamical behavior of the geodesic flows on Riemannian manifolds, and billiards on non-flat surfaces. On the theory of geodesic flows, we will carry out researches on the following topics: the statistical properties of invariant measures of maximal entropy for geodesic flows on rank 1 manifolds without focal points; the entropy-expansiveness for geodesic flows on manifolds without conjugate points; the existence, uniqueness and other important properties of invariant measures of maximal entropy for geodesic flows on generalized rank 1 manifolds without conjugate points. The theory of billiards on manifolds is a generalization of the classic theory of geodesic flows to manifolds with smooth boundaries. It is a composition of the classic billiards and geodesic flows. In this project, we plan to study the dynamics and the statistical properties of billiards on 2-dimensional billiard tables with negative curvatures. We expect to generalize this research to billiard tables with non-positive curvatures and tables without focal points.

本项目主要研究黎曼流形上测地流以及非平坦曲面上弹球系统的动力学性态。在测地流理论方面我们将主要研究以下一些问题：秩一无焦点流形上测地流的最大熵测度的统计性态；高维无共轭点流形上测地流的熵可扩性；广义秩一无共轭点流形上最大熵测度的存在唯一性及相关问题。流形上的弹球系统是测地流在带边流形上的推广，它可以视为弹球和测地流的复合。本项目中我们将研究2维负曲率球台上弹球系统的动力学行为及统计理论，并希望将其推广到更一般的非正曲率及无焦点球台上去。

本项目主要在测地流的动力学以及弹球系统的统计理论方面的前沿问题上开展研究。我们证明了秩一无焦点流形上测地流的最大熵测度的混合性以及秩一无焦点曲面上最大熵测度的伯努利性。我们对无共轭点流形上的测地流，在一定的条件下证明了其一系列双曲特性，如局部乘积结构，传递性，Anosov封闭引理等。我们还对理想边界上Patterson-Sullivan测度的一些特性进行了研究，并证明了秩一非紧流形上有限Knieper测度的唯一性。对弹球系统为代表的带奇点的双曲系统，在很一般的条件下我们优化了具有Markov结构的的双曲集的构造，并以此为基础得到了一批关于统计性质的结果。此外我们还在拉格朗日系统，天体力学，数学物理等相关领域上取得了一系列的进展。