非高斯噪声驱动系统的动力学性态

Non-Gaussian Levy noise with jump has been attracting more and more attention in the fields such as geophysics, biology and finance. It has different distribution pattern from that of continuous Gaussian noise. In our early work, we considered an exit problem of a one-dimensional tumor system driven by a symmetrical alpha-stable Levy noise. In this project, we will study more indexes, such as, the exit time and escape probability from a boundary of a two-dimensional system, the stochastic basin of attaction (SBA) of metastable state, the density function, the most probable phase portraits, probe the dynamics of system driven by non-Gaussian noise. The tough difficulty is the stability and convergence of the numerical algorithm for the exit problem and probability density which consist an integro-differential operator with the integral over the whole state space. Based on this numerical study, we discuss the effects on the indexes with different type of driving force, different noise and noise strength. By the aid of the indexes, we consider the problem of genetic expression and regulation. The application in the realm of science is helpful for our better understanding of the dynamics of the system driven by non-Gaussian noise.

带跳的非高斯Levy噪声在地球物理、生物、金融等领域受到越来越多的关注。它有着与连续型高斯噪声不同的分布性态。在前期的研究中，我们已经考虑了对称alpha-稳定Levy噪声驱动的一维肿瘤系统的逃逸问题。本项目中，我们将研究更多的指标，如，二维系统的逃逸时间及边界逃逸概率概率、亚稳态的随机吸收域、概率密度函数、最大可能相图，探讨非高斯噪声驱动系统的动力学性态。包含全空间微分-积分算子的逃逸问题及概率密度问题的数值算法的稳定性及收敛性是此项目的技术难点。在此类问题数值研究的基础上，我们探讨不同类型的驱动项、噪声类型及噪声强度对上述指标的影响。并通过这些指标探讨生物学中的基因表达及调控问题。具体的应用将进一步加深对非高斯驱动系统动力学性态的认识。

非高斯噪声广泛存在于地球物理、生物、金融等领域，使其中的过程表现出不同的动力学性态。本项目考虑了生物系统中的基因随机调控问题，地球物理中的随机多尺度滤波问题，以及对带噪声数据的模型重构问题。具体如下：.1. 我们考虑了基因转录系统中的随机调控对转录水平及转录噪声的影响。在外部环境的切换服从Poisson过程的假设下，我们研究了外部随机噪声所造成的竞争路径选择概率的统计性态。并通过理论分析和数值模拟，刻画了正、负及脉冲反馈下路径选择概率的动力学性态。最后，分析了不同情况下的路径选择对转录平均水平及噪声的影响。我们发现，基因内在的确定及随机特征决定了转录总体命运，外部噪声只能在一定程度上影响转录。.2. 我们考虑了多尺度随机滤波系统的分布性态。Zakai方程给出了原慢快系统中所有变量的联合概率密度函数所满足的偏微分方程。我们使用平均原则平均掉慢快系统中我们不关心也不容易观测到的快变量，从而得到慢流形约化系统。此系统对应一个只含慢变量的概率密度函数。我们进一步通过将慢快变量的概率密度函数分为三部分，证明了慢快变量的联合概率密度与慢变量的概率密度的均方收敛性。.3. 我们考虑从时间序列数据中提取随机微分方程的问题。我们观测到的数据通常是由确定的部分和随机扰动部分共同作用而成的。我们首先借助随机微分方程与最可能路径之间的理论关系，给出最可能路径满足的二阶常微分方程。我们从确定性模型出发，使用最可能路径的时间序列数据，不断的估计出相应参量值，去掉相关性小的特征，直至结果稳定。我们再解出随机微分方程中驱动项及扩散项中的系数。最后，对上面两步的结果不断优化更新。由此，我们不仅可以从数据中提取出系统中的确定项，还能同时得到扩散系数。