Gould-Hsu反演及其Multiplicate形式在超几何级数恒等式中的应用

Hypergeometric series identities play an important role in combinatorial mathematics, theoretical physics and computer algebra. It is a major task to find new summation and transformation formulae as well as reciprocal relations in this area. The existing reciprocal relations are relatively few and summations are mostly with variable 1 or -1, while literature about summations with other variables is relatively not too much. Based on the applicant's research work on summations with variable 4/3 which has been fulfilled by applying the Multiplicate inversions, this project will further investigate the applications of the Gould-Hsu inversions and its Multiplicate form in hypergeometric series identities. A series of reciprocal relations and transformations will be derived, while closed formulae for a large class of terminating hypergeometric $_3F_2( 4/3)$ series will be obtained.

超几何级数理论中许多恒等式在组合数学、理论物理、计算机代数中有着非常重要的应用。 发现新的求和公式、变换公式及互补关系式是超几何级数方向的主要研究课题。 现有的超几何级数互补关系式相对较少，求和公式大多以1或-1为参变量，而以其余数值为参变量的求和公式数量不多。 基于申请人已完成的利用Multiplicate反演建立以4/3为参变量的超几何级数求和公式的研究工作，本项目旨在进一步研究Gould-Hsu反演及其Multiplicate形式在超几何级数恒等式方面的应用， 推导一批超几何级数的互补关系式和变换公式，并获得另一类具有特定形式的以4/3为参变量的$_3F_2$级数的封闭性求和公式。

反演理论和方法在组合论、特殊函数论及数论等领域有非常重要的应用. 本项目旨在研究已知互反级数关系在超几何级数与q-级数恒等式方面的应用，一方面研究“Gould-Hsu反演及其Multiplicate形式在超几何级数恒等式中的应用”，旨在获得一批以其余数值为参变量的超几何级数求和公式，以弥补现有求和公式中大多以1或-1为参变量的现状，并推得一系列超几何级数的互补关系式和变换公式；另一方面本项目相应地研究“Gould-Hsu反演及其Multiplicate形式的q-模拟在q-级数恒等式中的应用”. . 围绕该研究目标，项目组成员从以下四个方面进行了探讨：.1. 借助于Gould-Hsu反演与线性分解技巧，通过建立有关超几何级数的变换公式与邻近关系式，推导了一类具有特定形式的终止型$_3F_2(4/3)$级数的封闭性求和公式..2. 利用Gould-Hsu反演的Multiplicate（多段分割）形式，得到了一批超几何级数的互补关系式，不仅包含现有的一些求和公式作为特殊情形，而且发现了大批新公式；其次利用Duplicate反演，建立了一类Fox-Wright $\Psi$-函数求和公式；此外还利用Duplicate反演及Triplicate反演，推导了若干含有$\Binomial(n,2k)$以及$\Binomial(n,3k)$的二项式卷积恒等式..3. 利用Abel分部求和法，通过推导一个$_3F_2(3/4)$级数求和公式，给出了一个关于Gosper$_7F_6$级数猜想的新的初等证明，同样地，利用Abel分部求和法还给出了Gasper和Rahman的一个非终止型的三次$_7F_6$级数求和公式的初等证明，并重新得到了Gosper在1977年给出的一个有趣的非终止型$_3F_2(3/4)$级数恒等式..4. 利用Carlitz反演，通过建立非终止型q-级数的变换公式，给出了关于模5、7、8、10、14、27的Rogers-Ramanujan 类型恒等式的系统性新证明，并利用Triplicate反演的q-模拟及Abel分部求和法，推导了一系列平衡的q-级数的封闭性求和公式.