多维系统的可积合成

The construction of the multidimensional integrable sytem and its solutions is an important and difficult problem in mathematical physics. The project will introduce a new method, i.e. integrable synthesis, to construct multidimensional systems. General speaking, integrable synthesis is to use different-order flows generated by a same spectrum problem to construct multidimensional system. These flows are compatible because they are generated by a same spectrum problem. Thus the multidimensional system is solvable because of the solvability and the compatibility of the these (1+1)-d flows. The project will plan to get multidimensional systems from several (1+1)-d system by integrable synthesis, and then study their solutions including soliton, breather and rational solutions. We also plan to study the initial-boundary problem of the (3+1)-d system which is generated by the integrable synthesis, with the help of the Fokas method. The results of the project will improve the understanding of the integrability for the multidimensional systems, and provide new research objects for mathematical physics and partial differential equations.

构造多维可积系统及其解是数学物理研究中的一个重要的困难问题。 本项目提出一个新的方法，即可积合成方法， 来构造高维系统。粗略的讲，可积合成是用同一个谱问题生成的不同阶流构造出多维系统。 因为它们由同一个谱问题生成，所以这些高阶流是相容的。由于这些(1+1)-d 流的相容性和可解性，可积合成所生成的多维系统有可解性。 本项目计划从多个(1+1)-d 系统出发合成多维系统，并研究其孤立子解，呼吸子解，有理解。 我们也计划用Fokas方法研究可积合成得到的 (3+1)-d 系统的初边值问题。本项目的结果会加深人们对多维系统可积性的认识，为数学物理和偏微分方程领域提供新的研究对象。

构造多维可积系统及其解是数学物理研究中的一个重要的困难问题。 本项目提出一个新的方法，即可积合成方法， 来构造高维系统。粗略的讲，可积合成是用同一个谱问题生成的不同阶流构造出多维系统。用Darboux变换方法和 Hiorta方法，我们研究了多个2+1d 系统（Kadomttsev–Petviashvili equation.， Davey–Stewartson等）的有理解和拟有理解，并讨论这些解的性质。但可积合成方法构造高维系统（2+1d,3+1d系统）的论文还没完成。.另外，用Darboux 变换和Hirtoa方法研究了多个1+1d系统的解及其性质；用反散射方法，RHP 方法研究了多个1+1d系统的解的性质。 这些1+1的系统研究为将来合成高维系统提供新的研究对象和方法。