可积系统的可积形变及其应用

孤立子方程的可积形变是可积系统理论研究的重要课题，具有重要的理论意义和应用价值,如q形变和无色散形变已被广泛研究。本项目主要研究近年颇受关注的可积系统的Rosochatius形变、nonholonomic形变和Kupershmidt形变，及其在海啸研究中的应用。研究将Rosochatius 形变推广到孤立子方程和第二型的带自相容源的孤立子方程及其求解；研究各种孤立子方程族的nonholonomic 形变和代数结构及其和Rosochatius形变的关系；研究bi-Hamilton系统的Kupershmidt形变的bi-Hamilton结构，多Hamilton系统的Kupershmidt形变的构造和性质及Hamilton结构；研究多分量CH型方程，VN方程和（2＋1）维CH方程的带源形变及求解；研究推广的dressing方法用于求fKdV方程和fKP方程的某些特解，用于分析海啸成因及传播规律。

本项目进展顺利，主要取得以下成果：研究了可积系统的推广的Kupershmidt形变, 构造了Jaulent-Miodek方程族, Harry-Dym方程, 经典的Boussinesq方程及耦合的KdV方程的推广的Kupershmidt形变并得到了形变系统的Hamilton结构. 在Sato理论框架内，利用方程的对称提出了一种构造离散的扩展（2+1）维方程族的系统方法，并进一步研究了求解该类方程族的推广的dressing方法. 研究了具有两类时间序列的KP、CKP方程族，并通过给出其零曲率方程和Lax对，证明了该方程族的可积性. 研究了可积形变的短脉冲方程、Camassa-Holm方程、两分量Camassa-Holm方程及Qiao－Liu方程, 并利用推广的reciprocal变换得到孤子解. 研究了推广的二维 Toda 晶格方程族的 dressing 解法，得到了此类方程族的推广的 Casoratian 行列式解. 构造了扩展的q-KP方程族、带源q-mKP方程族，并得到其孤立子解. 对离散可积系统，提出了构造其可积形变的新方法，得到了离散的Toda方程族，离散的Kac-van Moerbeke方程族，离散的Ablowitz-Ladik方程族等的Kupershmidt形变.