可积离散与近可积系统

There are lots of nearly integrable systems in mathematics and physics. Integrable theory can be used in the study of nearly integrable systems. In this project we aim to investigate integrable discretization and based on that to develop research on nearly integrable systems. First, we will investigate direct discretization that preserves integrability, changes of integrable structures in integrable discretization, and gauge transformation of semi-discrete integrable systems. Then, based on the understanding of integrable discretization, we develop research on nearly integrable systems, including nearly integrable structures, nearly integrable discretization and numerical calculation, and application in the nonlinear Schrödinger type nearly integrable systems. This project will provide new insight to understand integrable and nearly integrable discretization and to develop the research of nearly integrable systems based on integrable theory.. This is a one-year Tianyuan Visiting Scholar Program, applied jointly with Xuehui Zhao. Xuehui Zhao will visit Shanghai University during the period of the project, to implement the research together with the applicant Da-jun Zhang.

在数学和物理中存在大量近可积系统，可积理论可以应用于近可积系统的研究。本项目旨在研究可积系统的可积离散，并发展基于可积离散的无穷维近可积系统的研究方法。具体内容包括：研究保持可积性的直接离散，研究可积结构在离散化过程中的变化，发展半离散可积系统的规范变换；在此基础上发展近可积系统的研究方法，分析近可积特征，研究近可积离散方法与数值计算，并应用于非线性薛定谔方程相关的近可积系统的研究。项目的执行对于进一步理解可积与近可积离散，探索可积理论应用于近可积系统的研究，进一步认识近可积系统，具有实际意义。.本项目为天元数学访问学者项目，将与内蒙古师范大学赵学慧联合申请，并将邀请赵学慧作为访问学者来上海大学，共同探讨解决上述问题。

在数学和物理中存在大量可积和近可积系统，可积系统理论可以应用于近可积系统的研究。本项目主要研究可积离散以及离散过程中可积结构的保持，目的在于理解可积与近可积离散，发展相关研究方法，并应用于可积和近可积系统，特别是非线性Schrödinger型系统的研究。本项目为天元数学访问学者项目，与内蒙古师范大学青年教师赵学慧合作；项目执行期间，赵学慧老师于2022年7月-12月来上海大学开展研究，其余阶段以线上形式开展了合作。具体研究成果包括：获得了半离散Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS)方程族的Hamilton结构之间的递推关系；建立了半离散修正Kadomtsev-Petviashvili方程族可积结构的连续极限与相关的规范变换；发现了由扰动产生的AKNS和Kaup-Newell方程族可积耦合的新Hamilton结构；给出了粒子数守恒的Gross-Pitaevskii方程；发展了Cauchy矩阵方法在物理和水波方程中的应用；研究了若干高阶离散可积系统及其精确解。这些研究对于从保结构的离散化的角度研究可积和近可积系统具有理论和实际意义。所获成果都具有原创性，或发展了新的方法，或揭示了新的联系。项目执行期间，合作双方联合指导上海大学的1位硕士研究生和1位博士研究生，共发表/录用SCI收录论文7篇。我们满意地完成了该项目。