神经元中轴突运输两相流模型的一些数学问题

Many neurodegenerative diseases are linked to swellings occurring in the axon of neurons, such as Alzheimer's disease and Down syndrome. The two-phase flow model of axonal transport is an important model for describing this phenomenon. There are a lot of results on the numerical analysis of the model. However, the study of mathematical analysis just began. The purpose of this proposal is to study the global well-posedness of the solutions of the two-phase flow model of axonal transport as well as the large time behavior and the fine structure of the solutions by integrating energy methods, high frequency and low frequency decomposition, Fourier transform, Green function method and some other relevant techniques. The research results of the proposal are expected to effectively promote the improvement and development of mathematical theory of axon transportation in neurons.

许多神经退行性疾病都与神经元的轴突肿胀有关联，如阿尔茨海默氏症和唐氏综合症。轴突运输两相流模型是描述这种肿胀现象的一个重要模型。关于该模型的研究数值分析结果有很多，但数学分析方面的研究才开始。本项目拟综合利用能量方法、高频低频分解、傅里叶变换以及格林函数等方法，研究神经元中轴突运输两相流模型解的适定性、大时间行为等问题并给出解的精细结构。项目的研究成果有望有效推动神经元中轴突运输数学理论的完善和发展。

两相流模型在很多领域有广泛重要的应用，如石油工业、化学工程和生命科学等。轴突运输两相流模型是其中的一个重要模型。关于该模型已有的研究主要在数值分析方面。本项目主要对一般的两相流模型解的整体存在唯一性，大时间行为以及相关问题做了研究取得了一些进展。具体如下：得到了具有磁场作用的两相流模型整体强解的存在唯一性以及解的各阶导数的最优衰减估计；证明了不考虑粘性时两相流模型解的大时间行为；考虑了更一般的两相流模型，该模型包含了流体体积分数满足的方程，证明了当初始扰动适当小时，该两相流模型初值问题强解的整体存在唯一性。证明了含两种反应物质的混合物的流体动力学方程组解的整体存在唯一性，逐点估计以及解的稳定性。项目执行期间，发表标注本项目基金号的学术论文共十三篇，投稿两篇。