带有非线性项的非局部多孔介质方程长时间行为的研究

This project is devoted to considering the long time behavior of nonlocal porous medium equations. We mainly investigate three problems: (1) The well-posedness and the existence of global attractors of approximate solutions and the existence of trajectory attractors of weak solutions. (2) The dimension of attractors and the existence of exponential attractors. (3) The continuity of attractors with respect to parameters. This project plays an important theoretical guiding role in revealing the long-time behavior of nonlocal porous medium equations; the relationship between the long time behavior for nonlocal porous medium equations and nonlocal reaction diffusion equations as well as the classical porous medium equations.

本课题旨在研究带有非线性项的非局部多孔介质方程长时间动力学问题。主要研究以下三个问题：（1）非局部多孔介质方程逼近解的适定性和吸引子的存在性以及弱解的轨道吸引子的存在性。（2）非局部多孔介质方程吸引子的维数估计和指数吸引子的存在性。（3）非局部多孔介质方程吸引子关于参数的连续依赖性。本项目对揭示非局部多孔介质方程的长时间行为以及其与非局部反应扩散方程、经典的多孔介质方程长时间行为的联系有重要的理论指导意义。

在本项目的资助下，围绕计划书的相关内容，主要针对发展方程的长时间行为进行研究。首先，我们利用摄动方法研究了非局部多孔介质方程弱解的存在性，应用“共轭”方程的思想，研究了弱解的唯一性。针对该方程解的长时间行为，我们通过渐近紧方法得到在L1空间中吸引子的存在性，利用Z2-指标理论研究了吸引子的维数。然后，针对带有无上增长限制的非线性项的反应扩散方程，为了更好地刻画吸引子，我们得到了Orlicz空间中弱解和吸引子的存在性。另外，针对超临界增长的耗散波方程，我们在强、弱拓扑空间中研究了吸引子、指数吸引子的存在性；针对可扩展梁方程，我们在不同的耗散条件下研究了吸引子的性质。