四阶Schrodinger方程的散射理论及低正则性研究

Scattering theory and low regularity problems are the main study fields for the nonlinear evolution equations, especially for the nonlinear dispersive equations, and the fourth-order Schrodinger equation is an important model in the quantum physics and fluid dynamics. The program focuses on studying the scattering theory and low regularity of the initial value problem for the fourth- order Schrodinger equation. The main content includes: (1)On the basis of profile decomposition and concentration compactness method, via establishing Virial-type inequality and constructing Galilean-like transformation to obtain the sub-critical scattering for the defocusing case in low spacial dimensions and the mass-critical scattering for the focusing case. (2)Study the global well-posedness for the nonlinear fourth-order Schrodinger equation when the initial data belong to low regular spaces resorting to Bourgain's energy argument and I-method.

散射理论与低正则性问题是非线性发展方程，特别是非线性色散方程中的两个主要研究方向，而四阶Schrodinger方程是量子物理学与流体动力学中的重要模型。本项目主要研究四阶Schrodinger方程初值问题的散射理论及其低正则性问题。研究内容包括：(1)在profile分解与集中紧方法的基础上，通过建立Virial型不等式及构造Galilean-like变换证明非聚焦四阶Schrodinger方程在低维空间的能量次临界散射及聚焦型四阶Schrodinger方程的质量临界散射理论。(2)在Bourgain的能量归纳技术与I-乘子方法的基础上，研究非线性四阶Schrodinger方程当初值的正则性较差时的整体适定性问题。

本项目主要研究非线性四阶Schrodinger方程初值问题在低维空间的散射理论及低正则性，经过一年的努力，基本完成了项目的预期成果，取得成果概述如下：首先，借助于Bourgain的能量归纳技术与I-方法，以及多线性乘子技术建立了非线性四阶Schrodinger方程当初值所属空间正则性较低时初值问题的部分局部与整体适定性结果。其次，借助于profile分解，集中紧方法以及virial型不等式，关于非线性四阶Schrodinger方程初值问题在低维空间的能量次临界散射结果已经建立，但是，由于现有技术及方法的限制，对于聚焦型初值问题低维空间的质量临界散射还未完全解决。另外，借助于径向情形下的profile分解及集中紧方法建立了非线性Schrodinger-Hartree方程初值问题在能量空间的散射及爆破结果；利用Lyaponuv函数方法建立了含有阻尼项和源项的半线性波动方程初值问题在一定条件下的整体适定性及爆破结果。