KP型方程和Ostrovsky型方程低正则性解的研究

KP-type equations and Ostrovsky-type equations are two kinds of important dispersive equations， which describe the propagation of water waves. This project mainly studies the low regularity of the KP-type equations and the Ostrovsky-type equations. More concretely, this project mainly includes two parts. (1)By using the theory of semigroup of operators、modified Sobolev spaces、anisotropic Sobolev spaces、modified Besov spaces、atomic spaces、modified Fourier restriction norm method、Strichartz estimates、Littlewood-Paley decomposition and some elementary algebraic identities，this project studies the local well-posedness、global well-posedness and scattering of KP-type equations in the periodic case and in the nonperiodic case. (2)By using the modified Fourier restriction norm method、 Strichartz estimates and some elementary algebraic identities, this project studies the local well-posedness、 global well-posedness、ill-posedness and scattering of Ostrovsky-type equations in the Sobolev spaces.

KP型方程和Ostrovsky型方程是描述水波传播的两类重要的色散波方程。本项目主要用来研究KP型方程和Ostrovsky型方程的的低正则性问题。具体说来，内容主要涉及到两个方面。(1) 使用算子半群理论、修正Sobolev空间、各向异性Sobolev空间、修正Besov空间、原子空间、修正傅里叶限制范数方法、Strichartz估计、Littlewood-Paley分解以及一些基本的代数恒等式，研究KP型方程在周期情形与非周期情形时的局部适定性、整体适定性和散射性。(2)使用修正傅里叶限制范数方法、Strichartz估计以及一些基本的代数恒等式，研究Ostrovsky型方程在Sobolev空间中的局部适定性、不适定性、整体适定性以及散射性。

本项目主要研究四阶薛定谔方程、Ostrovsky型方程、白噪声驱动的正色散Ostrovsky方程、高阶修正Camassa-Holm方程、KP型方程的局部适定性、不适定性、整体适定性。具体内容包括：1.使用Besov型空间和一些双线性估计，证明了四阶薛定谔方程和正色散Ostrovsky方程在临界空间中的适定性，给出了与正色散Ostrovsky方程有关的一个双线性估计的新证明；2、使用傅里叶限制范数方法和修正傅里叶限制范数方法以及随机分析技巧，证明了白噪声驱动的正色散Ostrovsky方程的适定性；3、使用一些双线性估计，建立高阶修正Camassa-Holm型方程在环上的局部适定性；4、使用傅里叶限制范数方法和高低频技巧，建立了高阶KP-I方程的局部适定性、整体适定性；5、使用傅里叶限制范数方法、高低频技巧以及振荡积分技巧，建立了正色散KP-II型方程的局部适定性、不适定性；6、使用傅里叶限制范数方法、高低频技巧和原子分解技巧，建立了负色散KP-II型方程的局部适定性、不适定性。