四阶非线性色散方程初值问题的理论研究

The program focuses on the study of the Cauchy problem for the fourth-order dispersive equations, the main contents are as follows: (1)Mass-critical scattering for the nonlinear fourth-order Schrodinger equation in low dimensions and energy-subcritical scattering for Beam equation in one dimension; (2)The local and global well-posedness for Cauchy problem of the nonlinear fourth-order Schrodinger equation and Beam equation with rough initial data or periodic initial data; (3) Blow-up of the solutions to Cauchy problem of the nonlinear fourth-order Schrodinger equation and Beam equation; (4) Unconditional uniqueness of the solutions to Cauchy problem of the nonlinear fourth-order Schrodinger equation and Beam equation. The methods and techniques used here includes Strichartz estimate, profile decomposition, virial inequality, nonlinear analysis and high-low frequency decomposition and so on. The theory of Cauchy problem for high-order nonlinear dispersive equations will be improved via our deep research. And the establishment of these mathematical theories not only have important mathematical value, but also supply significant theory basis for the development of the natural sciences such as quantum mechanics and fluid dynamics.

本项目致力于研究四阶非线性色散方程的初值问题，主要包括：（1）非线性四阶Schrodinger方程在低维空间的质量临界散射和四阶梁方程在一维空间中的能量次临界散射；（2）具有粗糙初值或具有周期初值时，非线性四阶Schrodinger方程和四阶梁方程初值问题的局部与整体适定性理论；（3）解的爆破机制问题；（4）解的无条件唯一性理论。采用的方法与技巧主要有Strichartz估计、profile分解、virial 不等式、非线性分析以及高低频分解技术等。通过对上述问题的深入研究，完善高阶非线性色散方程初值问题的理论研究。这些数学理论的建立不仅具有重要的数学理论价值，而且可以为量子力学及流体动力学等自然学科的研究与发展提供重要的理论依据。

本项目主要研究几类非线性色散方程的初值问题，主要研究内容包括解的局部与整体适定性，解的散射理论以及解的爆破机制。经过项目组成员的共同努力，基本完成既定的研究目标，主要成果如下：1.研究了一类具有两个耦合的非线性Schrodinger方程组成的方程组在三维空间的动力学问题，首先建立了相应的散射准则和Morawetz估计，得到了方程组在更广泛初值条件下的散射理论，简化了已有结果的证明并推广了原有结果；另一方面，通过对变分结构的分析证明了在更宽泛的初值范围内解的有限时刻爆破问题。2.建立了具有反平方位势项与次临界扰动项的能量临界Schrodinger方程初值问题在三维空间的整体适定性理论及径向初值条件的散射理论，此结果把散射成立的条件从a>0推广到了a>-1/4+1/25(a为反平方位势前的系数)。3.研究了一类wave-hartree方程初值问题的解在高维空间的爆破机制问题；4.建立了一类具有临界Sobolev指标的拟椭圆Neumann问题在一定条件下非平凡解的存在性，主要工具是Lions集中紧性原则与山路引理。5.研究了一类具有记忆项和多个非线性项的反应扩散方程问题的解在某范数意义下具有指数型增长阶现象。. 上述非线性方程都具有一定的物理背景，这些数学理论的建立不仅具有重要的数学理论价值，而且可以为量子力学及流体动力学等自然学科的研究与发展提供重要的理论依据。