典型非线性浅水波方程的低正则解散射及渐进性研究

项目研究具有奇异孤立波特征的典型的可积系统的非线性浅水波方程CH、DP、CH2方程的低正则下适定性、散射与反散射理论、孤立子碰撞演化规律、解的极限行为、渐进行为等，理论与数值模拟结合，发展非线性浅水波方程的解分析理论。研究高阶动量影响下CH方程初值在Bourgain空间下，非周期情形下的低正则整体适定性、有限域上包括低正则局部及整体适定性问题。研究几类方程在复值函数空间的局部及整体适定性。复模修正CH方程的柯西问题，其解在索伯列夫空间收敛于CH方程、KdV方程的解的极限性质，行波解的稳定性。非齐次初边值问题及渐进稳定性、周期条件下守恒解的稳定性；CH及广义CH方程在尺度空间中孤立子扰动小数值散射及2孤子解弹性和非弹性碰撞的演化规律；CH2方程的散射数据和反散射变换。通过研究二类边界控制和二类最优控制获取方程的渐进性。

本项目研究了一类典型非线性浅水波方程的低正则解及其渐进性。发展了浅水波理论相关的解分析研究。获得了一个新的耦合Camassa-Holm系统在Besov空间中的局部适定性，得到了该系统解的爆破机制，在一定初值条件下给出了一个解的爆破结果；获得了变形双组份Camassa-Holm方程在周期条件下低正则解的存在性；获得了一个广义弱耗散双组份Camassa-Holm系统的波的破裂现象，并给出了解的爆破的速率；获得了双组份Camassa-Holm方程的解映射的不一致连续性；获得了粘性双组份Camassa-Holm方程整体吸引子的存在性；获得了Novikov方程在强粘性作用下在区间[0,1] 上的最优边界控制的一阶必要最优条件和二阶充分最优条件；获得了广义Fornberg-Whitham 的最优分布控制下最优控制解的存在性，并给出了所研究的最优控制问题必要最优条件；Dullin-Gottwald-Holm方程的尖峰子—反尖峰子碰撞，发现了不同于Camassa-Holm方程的新现象；研究了具有立方非线性项的广义BBM方程的两个速度不等的孤立波的非弹性碰撞，证明了孤立波碰撞的非弹性性质和纯2-孤立子的不存在性。研究获得了双组份Degasperis-Procesi方程的精确孤立波解、周期解、爆破扭结解和圈孤立波解；获得了几个重要的非线性波方程基态解的存在性、多重性和集中性。本项目取得的重要结果在JDE, JMAA, JMP, CVPDE, NA, PRE, PLA, Physica A等国际权威杂志发表，共发表国际杂志论文35篇，其中SCI 检索28篇。出版专著2部。获江苏省科学技术二等奖1项。