子因子理论中若干问题

This project focuses on operator algebras, especially subfactor theory and its connections with conformal field theory (CFT). It has five main topics:.1. Is the indices of finite depth irreducible subfactors well ordered? All known examples support a positive answer, and we hope to make further progress on this problem, especially in the case when subfactors come from CFT..2. Recently there has been great progress in classification of holomorphic CFT with central charge 24. The subfactors that appear in this setting are very interesting and should be further studied..3.Study some cases of near group subfactors motivated by reconstruction programe or conjecture..4.Establish the relations between a class of planar algebras defined by generators and ralations and subfactors coming from conformal inclusions..5. Further establish the relations between N=2 super CFT and non-commutative geometry. .These questions are the key questions in the subfactor theory and conformal field theory. The solutions of these questions are not only important for subfactor theory, but also provide new perspectives for two dimensional conformal field theory.

本课题研究算子代数,子因子理论以及与共形场理论的关系.主要内容有五个方面:.(1)有限深度的不可约子因子指标组成的集合是子因子理论的重要研究对象。.这个集合是否自然有序?目前已知的例子都倾向于答案是肯定的.我们希望在这一问题上有进一步结果，特别是如果考虑的子因子是从共形场中构造的，我们可以用共形场理论得到更多的有趣结果。.(2)中心荷为24 的解析共形场最近得到了突破性的发展，其中的子因子具有非常有趣的性质，值得近一步研究。.(3)研究重构造猜测中自然出现的问题，包括一类特殊的子因子的构造。.(4)揭示一类由生成元和生成关系定义的平面代数与共形嵌入中产生的子因子的关系..(5)进一步推广N=2 的共形场与非交换几何的的联系..本项目所研究的问题是子因子与共形场理论中的核心问题,这些问题的解决不但对子因子理论的发展至关重要,也对二维共形场论提供崭新的结果

本课题的主要研究内容是子因子与共形场结构和表示理论,其中包括一大类finite depth中间子因子的格的构造,与共形场密切相关的顶点算子代数cyclic orbifold理论,以及与熵理论的重要联系。主要结果有下面几个方面:.1）证明了有限深度子因子与有限群的子因子的复合同样可以实现为有限深度子因子的格。这一结果给出了一大类finite depth中间子因子的格，我们的工作极大的推广了Watatani的1992结果；2）受共性网的研究的影响，研究了有理顶点算子代数cyclic orbifold theory。Cyclic orbifold理论研究由一个顶点算子代数及其一个特殊的循环自同构群所确定的不动点子代数的表示理论及对应的共形场论。Cyclic orbifold theory中的中心问题是确定不可约模的分类以及对应的迹函数的模变换公式。在共形网中我们证明了不动点子代数在共形网意义下的有理性，而这一有理性与Cyclic orbifold theory有着密切的关系。我们对不可约模进行分类并给了重要的模变换公式；3）鉴于熵理论与子因子理论密不可分的关系，并且借助于自由费米场的split property与一类特殊算子的关系，我们在自由费米场熵的研究中取得重要成果。