子因子与共形场理论

This project focuses on operator algebras, especially subfactor theory and its connections with conformal field theory. It has four main topics: 1. Finite depth subfactors are natural generalizations of finite groups. Is the indices of finite depth irreducible subfactors well ordered? all known examples support a positive answer, and we hope to make further progress on this problem. 2. Subgroups are very important in the study of group theory. Similarly intermediate sufactors have been an active area of research in recent years. We hope to further extend known results, for example given a special class of finite lattices, can we construct the corresponding intermediate subfactor lattices? 3. Mirror extension is a result we obtained in 2006. This result gives a large class of rational conformal net using subfactor theory. We hope to establish similar results in the setting of Vertex Operator Algebras. 4. Further establish the relations between irreducible subfactors and irreducible operators. These questions are the key questions in the subfactor theory and conformal field theory. The solutions of these questions are not only important for subfactor theory, but also provide firm analytical fundations for two dimensional conformal field theory.

本课题研究算子代数,子因子理论以及共形场理论的关系.主要内容有四个方面: (1)有限深度的子因子是有限群论的自然推广.不可约有限深度的子因子指标是否自然有序?目前已知的例子都倾向于答案是肯定的.我们希望在这一问题上有进一步结果. (2)在群论中子群是非常重要的研究对象.同样中间子因子也是近来研究的热点.我们希望进一步提高已知的结果,比如给定一类特殊的有限格,如何构造出对应的子因子? (3)镜扩张是我们在2006年取得的一个结果.这一结果运用子因子理论构造出一大类新的有理共形场.我们希望建立在顶点算子代数中类似的结果. (4)拟建立不可约子因子与特殊不可约算子的更进一步联系.本项目所研究的问题是子因子与共形场理论中的核心问题,这些问题的解决不但对子因子理论的发展至关重要,也对二维共形场论提供更为坚实的分析基础.

本课题的主要研究内容是子因子与共形场结构和表示理论. 主要结果有下面 几个方面:.1）从量子群中构造了一大类极大子因子。 这一类子因子是无限深度， 但是也具备良好的分析逼近性， 我们的证明也用到了planar algebra 的图表示的基本思想；.2）研究了有理顶点算子代 数orbifold theory。Orbifold 理论研究由一个顶点算.子代数及其一个有限阶的自同构群所确定的不动点子代数的表示理论及对应的.共形场论。Orbifold theory 中的中心问题是确定不动点子代数的有理性，不可约.模的分类以及对应的迹函数的模不变性。在共形场中我们证明了不动点子代数在共形场意义下的有理性， 但是在顶点算子代数意义下的有理性仍然是一个未解决的问题。我们对不可约模进行分类并证明了有理orbifold theory 中的迹函数都是某个同一子群上的模形式; 3）受共性网的研究的影响， 我们研究了格顶点算子代数的permutation orbifolds, 分类了不可约模，确定了fusion rules；.4）我们在重整化猜测及相关问题上取得了重要进展： 这里包括从共性网中构造了 部分 从 Cuntz 代数中构造出来的子因子并由此解决了相关问题。 另外从 holomorphic central charge 24 的共形场中构造了新的子因子