随机最优控制问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程及其弱解研究

We study the stochastic optimal control problems which described by backward stochastic differential equations (BSDEs) and their applications in real word. In detail, adopting the classical forward-backward stochastic differential equation theory, stochastic analysis theory and the Doob-Meyer decomposition theorem as the main tools, we consider the dynamic programming principles and the Sobolev weak solutions of the corresponding HJB equations, moreover, we will attempt to prove the optimal value functions are the unique Sobolev weak solutions of the HJB equations. Motivated by some problems arising in mathematical finance, we focus on the stochastic recursive optimal control problem with an obstacle constraint for the cost functional which described by the solution of a reflected BSDE, consider the Sobolev weak solution of the corresponding HJB equation. We will dedicate to study stochastic optimal control problem which described by a backward doubly stochastic differential equation, consider the dynamic programming principle, the Doob-Meyer decomposition theorem and the Sobolev weak solution of the corresponding HJB equation. We creatively give the definition of Sobolev weak solution, give better probabilistic interpretation for the HJB equation which has supremum and enrich the weak solution theory of the HJB equation.

本项目研究代价函数由倒向随机微分方程（BSDE）的解刻画的随机最优控制问题及其在实际中的应用。考虑这类问题中动态规划原理和相应的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程的Sobolev弱解，利用正倒向随机微分方程理论、随机分析理论，以非线性Doob-Meyer分解定理为主要工具，研究最优值函数是HJB方程的唯一Sobolev弱解。在一些金融问题的启发下，重点研究代价函数由带限制的倒向随机微分方程的解刻画的随机最优控制问题中，HJB方程的Sobolev弱解；探讨代价函数由正倒向两个布朗运动驱动的倒向随机微分方程（BDSDE）的解刻画的随机最优控制问题，考虑动态规划原理、对应的非线性Doob-Meyer分解定理和HJB方程的Sobolev弱解。动态规划原理对应的HJB方程中含有上确界，Sobolev弱解使这类方程有更好的概率表示，丰富了HJB方程的弱解理论。

随机最优控制是现代控制理论中的重要研究方向，它研究的是动态随机系 统的最优化，在现实生活中具有广泛的应用，在通讯、航空航天、制造业以及 金融投资领域等方面都发挥着举足轻重的作用。在实际应用中，什么样的情况 下存在这个最优控制，以及找到这个最优控制和最优的代价函数成为解决这个 问题的关键。我们知道解决随机最优控制问题的两种基本方法是随机最大值原理和动态规划原理。本项目研究代价函数由倒向随机微分方程（BSDE）的解刻画的随机最优控制问题及其在实 际中的应用。考虑这类问题中动态规划原理和相应的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程的S obolev弱解，利用正倒向随机微分方程理论、随机分析理论，以非线性Doob-Meyer分解定理为 主要工具，研究最优值函数是HJB方程的唯一Sobolev弱解。在一些金融问题的启发下，重点研 究代价函数由带限制的倒向随机微分方程的解刻画的随机最优控制问题中，HJB方程的Sobolev 弱解；探讨代价函数由正倒向两个布朗运动驱动的倒向随机微分方程（BDSDE）的解刻画的随 机最优控制问题，考虑动态规划原理、对应的非线性Doob-Meyer分解定理和HJB方程的Sobolev 弱解。动态规划原理对应的HJB方程中含有上确界，Sobolev弱解使这类方程有更好的概率表示 ，丰富了HJB方程的弱解理论。