多时点状态下的随机最优控制问题及其相关应用

The accuracy of the model is very important in the problems of economic and finance. For example, production and consumption, investment portfolio problems, which need to describe the states of some different time. Thus, in this project, we prepare to extend the classical stochastic optimal control model to describe the multi-time states problem, specifically, the terminal cost of optimal control problems is generalized as multi-time states cost and the terminal constraints is generalized as multi-time states constraints. .This new control problems not only have a strong application background, especially the problem of the production and consumption, but also have an important value of theoretical research, including the maximum principle and related dynamic programming principle. For the terminal state cost and constraints of this new control problem are multi-time states, we can't solve it by classical methods directly. Adjoint equation plays a crucial role when proving the maximum principle, and which is depend on the kind of control set and the details of the multi-time states. Considering the application background of this project, we will study the production and consumption, investment portfolio problems via the stochastic optimal control model under multi-time states, and give some economic explanations for these problems.

在经济金融等相关问题中，模型的准确性很重要。例如在生产消费、投资组合等问题中，需要刻画某些时间点的状态损耗和受限。因此在本项目中，将研究一类与多个时间点（简记为：多时点）的状态相关的随机最优控制问题，具体来说是把随机最优控制问题中的终端损耗推广为多时点状态损耗，把终端受限推广为多时点状态受限。. 这一新的控制问题不仅有较强的应用背景，特别是在生产消费问题中，而且有重要的理论研究价值，包括相关的最大值原理和动态规划原理。由于在这类新型的控制问题中引入了多时点状态损耗和多时点状态受限，因此无法直接应用经典的方法解决。一个关键的技术是伴随方程，而引入的伴随方程依赖控制域的选取以及具体的多时点状态模型。考虑到项目的应用前景，将把多时点状态下的随机最优控制模型应用到生产消费和投资组合问题中，并阐述模型的经济金融意义。

在生产消费、投资组合等问题中，模型的准确性很重要,需要刻画某些时间点的状态损耗和受限。在本项目中，研究了一类与多个时间点（简记为：多时点）的状态相关的随机最优控制问题，具体来说是把随机最优控制问题中的终端损耗推广为多时点状态损耗，把终端受限推广为多时点状态受限。主要研究内容分三个方面：1）多时点状态系统下的随机最大值原理：通过引入刻画多个时点状态的随机最优控制系统，描述多个时点状态的随机最优控制问题，建立了多时点状态损耗随机最优控制问题的最大值原理，得到随机微分系统下的多时点代价泛函最优解存在的充分和必要条件。特别的针对终端是停时的控制系统，借助已有的多时点状态系统结果，建立相关的最值原理。2）多时点状态受限情形的最大值原理：针对连续状态受限的随机最优控制系统，通过引入离散的多时点状态受限问题，建立连续状态受限和多时点状态受限下的最优控制问题的联系，证明了多时点状态受限下的随机最大值原理和状态受限下的变终端最优控制问题。3）均值方差投资组合模型和风险计算模型：基于已经建立的多时点状态下的随机最优控制问题框架，研究了连续时间的多时点状态均值方差模型，分析了多个时点状态的均值和方差问题，得到了最优解。建立了基于优化方法的风险度量模型 G-VaR，可用于计算风险资产的损失。