几类随机发展方程的渐近行为及其相关问题

Recently, stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motions and related processes (for example, subfractional Brownian motion, bifractional Brownian motion) have become a hot issue in probability theory and applied in a wide range of scientific areas including telecommunications, biology, economics, finance and physics. It is of importance in both theory and application to investigate them. This project aims to investigate the asymptotic properties and related problems for some classes of stochastic evolution equations in Hilbert spaces. The proposal is mainly made up of three parts. First, we will establish the existence and uniqueness of mild solutions to stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion and related processes with non-Lipschitz coefficients, further, we will focus on the asymptotic behavior such as almost sure exponential stability, asymptotic stability in moment and decay rate of the mild solutions. Second, we will consider the existence, uniqueness and asymptotic property of solutions to stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion and related processes with (infinite) delays or impulsive effects. Third, we will study the existence, uniqueness and asymptotic properties of stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion and related processes with nonlocal initial conditions.

最近，由分数布朗运动及相关过程（如次分数布朗运动、双分数布朗运动）驱动的随机发展方程已经成为概率论的热门课题，有着重要的理论意义和广泛的应用背景，应用领域涉及到电信、生物、经济、金融及物理等。本项目旨在研究Hilbert空间中几类随机发展方程的渐近性及相关问题。研究的主要内容分三个部分：一是在非Lipschitz条件下研究Hilbert空间中由分数布朗运动及相关过程驱动的随机发展方程适度解的存在唯一性，进而着重研究解的渐近行为，如解的矩稳定性、几乎必然稳定性及衰减速度的估计；二是研究含有(无穷)时滞及脉冲等因素影响的由分数布朗运动及相关过程驱动的随机发展方程适度解的存在唯一性和渐近性；三是研究在非局部初始条件下由分数布朗运动及相关过程驱动的随机发展方程适度解的存在唯一性和渐近性。

由分数布朗运动及其相关过程(如次分数布朗运动、分数布朗单、列维过程)驱动的随机发展方程是近年来随机微分方程研究领域的热点问题之一，其应用涉及到自然科学和社会科学的许多领域。本项目主要围绕分数布朗运动及其相关过程驱动的随机微分方程解的存在性、稳定性、可控性及相关应用问题展开研究工作。研究内容和主要结果包括：(1) 分别在Lipschitz和非Lipschitz条件下，研究了非局部初始条件下的由分数布朗运动驱动的随机发展方程适度解存在唯一性，给出了适度解完全可控的充分条件，给出了结论在具体方程中的应用；(2) 研究了分数布朗运动驱动的中立型随机泛函微分方程，给出了适度解的存在性、渐近稳定性和完全可控性的充分条件，并举例说明了所得结果的有效性；(3) 提出了泊松p-平均几乎自守过程的概念，研究了由列维过程驱动的半线性随机发展方程P-平均几乎自守适度解的存在性；(4) 研究了带有可加白噪声的分数随机热方程，讨论了其解及相关泛函的二次变差问题；(5) 提出了$\mu$-概几乎自守过程的概念，给出了由布朗运动驱动的半线性随机发展方程$\mu$-概几乎自守解的存在性的充分条件，举例说明了所得结果的有效性；(6) 在多维参数高斯过程的研究上，首先研究了多维参数分数布朗单的泛函中心极限定理，其次讨论了一类多维参数高斯过程的弱极限问题。最后研究了赋权分数O-U过程的参数估计问题。. 本项目的研究成果丰富和发展了随机微分方程的渐近性及相关领域的研究成果。在项目资助下，课题组发表研究论文8篇，其中SCI检索4篇，1篇论文被专著收录。项目组成员积极参加学术交流与合作，同时注重研究生培养，课题负责人共指导研究生9人，毕业4人。